Reihenentwickelung der endlichen Gleichuugen einer Gruppe. 
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Schon damals leuchtete ein, dass die höheren Glieder durch | und r\ 
vollständig bestimmt sind. Das Gesetz der Reihenentwicklungen ist 
nun in unserem Theorem 4 angegeben. Durch diese Gesetzmässigkeit 
zeichnen sich die Reihenentwickelungen einer eingliedrigen Gruppe vor 
beliebigen Reihenentwickelungen nach Potenzen von t aus. 
Wir wollen zu den Entwicklungen dieses und des vorhergehenden 
Paragraphen einige Beispiele geben. 
1. Beispiel: Yorgelegt sei die infinitesimale Transformation 
In der Form (21) sollen die endlichen Gleichungen der von Uf er 
zeugten eingliedrigen Gruppe dargestellt werden. 
Es ist hier offenbar: 
Ux = — y, 
TKJJx) = — x, 
ü(U(üx)) = y, 
U(ü{TJ(JJx)))=x, 
üy = x, 
U(Uy) = -y, 
U{U(Uy)) =i-x, 
V[ü(U{üy)))=y 
u. s. w. Man erkennt leicht die Gesetzmässigkeit dieser Werte. Nach 
(21) kommt also: 
1 ■ 2 • 3 • 4 y 
oder: 
Nach bekannten Reihenentwickelungen ist also: 
X x = X cos t — y sin t, y x — x sin t -f- y cos t. 
Die gesuchte Gruppe ist die der Rotationen um den Anfangspunkt, 
was wir auch aus unserem Beispiel in § 2 des 1. Kap. hätten ent 
nehmen können. 
Es soll nunmehr Uf auf die canonische Form, d. h. auf die Form 
Nach Satz 4 sind die neuen Yariabeln £, t) so zu wählen, dass 
di , „ di