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Kapitel 3, § 3. 
wird. Die erste Differentialgleichung ist der gewöhnlichen Differential 
gleichung 
oder: 
dx 
— y 
dy 
x 
xdx -f- ydy = 0 
äquivalent und hat das Integral 
£ = x 2 + f- 
Die zweite Differentialgleichung ist dem simultanen System 
= & = dü 
— y ® > 
äquivalent. Zur Integration desselben, die durch eine Quadratur zu 
ermöglichen sein muss, brauchen wir übrigens nicht erst, wie es oben 
im Text geschah, y vermöge x 2 -f- y 2 — c zu eliminieren. Es kommt 
nämlich.: 
dx — — ydi), dy = xdt) 
und also: 
xdy — ydx = (x 2 + y 2 )dty 
oder: 
xdy— ydx 
dt) — 
x 2 + y l 
Die rechte Seite ist nichts anderes als das Differential von arc tg - • 
Es ist daher: 
£ = x 2 + y 2 , 9 = arc tg |- 
zu setzen. Natürlich hätten wir auch £ in der Form ]/x 2 -j- y 2 an 
nehmen können. Alsdann sind j und lj die Polarcoordinaten r, cp. 
Wir gelangen also dann zu denselben canonischeu Yariabeln wie in 
§ 2 des 1. Kap. (Vgl. auch Beispiel 1, Kap. 2, § 4.) 
2. Beispiel: Man soll die endlichen Gleichungen der von der in 
finitesimalen Transformation 
XJ f= x Wi + y Ji 
erzeugten eingliedrigen Gruppe durch Reihenentwickelung darstellen. 
Hier ist Ux = x, UUx = x u. s. w., analog Uy = y, UUy = y 
u. s. w. Also kommt nach (21): 
■ t - t 2 , 
x + Y *»+ j—2 ' x "f 
x . e 
, t . i 2 
Vi = y + y * y + Yä 
y 4 = y • eh' 
Es ist dies die Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen vom Anfangs 
punkt aus. Als Parameter kann anstatt t auch a — e l benutzt werden: