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Kapitel 4, § 1. 
Kapitel 4. 
Bestimmung aller Functionen und Curven, welche hei einer ein 
gliedrigen Gruppe der Ebene invariant bleiben, insbesondere der 
Bahncurven. 
Werfen wir einen Rückblick auf die beiden vorhergehenden Ka 
pitel, so fällt in die Augen, welche hervorragende Stelle der Begriff 
der infinitesimalen Transformation in der Theorie der eingliedrigen 
Gruppen einnimmt. Die infinitesimale Transformation ist der wahre 
Repräsentant der eingliedrigen Gruppe; es wird sich nämlich später 
immer zeigen, dass alle auf die eingliedrige Gruppe bezüglichen Probleme 
durch Benutzung der infinitesimalen Transformation derselben allein 
gelöst werden können. Dies wird es gerechtfertigt erscheinen lassen, 
wenn wir öfters statt von der durch die infinitesimale Transformation 
TJf erzeugten eingliedrigen Gruppe kurz von der eingliedrigen Gruppe Uf 
sprechen. 
Die Transformationen einer Gruppe stellen nun Operationen vor, 
durch welche die Punkte der Ebene in neue Lagen übergeführt werden. 
Es bietet sich demnach ganz von selbst die Frage dar, welche Gebilde 
bei allen Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben, indem zwar 
die Punkte eines solchen Gebildes durch die Transformationen der 
Gruppe in neue Lagen kommen, aber doch immer wieder in Punkte 
desselben Gebildes übergehen. Das hiermit angedeutete Problem hat 
zwei Seiten, eine analytische und eine geometrische. Einerseits kann 
man nach allen Functionen Sl (x, y) respective allen Gleichungen 
il(x } y) = Const. fragen, welche bei allen Transformationen der 
Gruppe ungeändert bleiben, andererseits nach allen Curven £i(x, y) — 0, 
welche bei allen Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben. 
Mit diesen beiden Problemen werden wir uns in diesem Kapitel 
beschäftigen. 
§ 1. Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe in der Ebene. 
Die wichtigen Reihenentwickelungen im Theorem 4 (3. Kap., § 3) 
liefern fast unmittelbar die Bestimmung aller Functionen £l(x, y) 
welche bei allen Transformationen der eingliedrigen Gruppe 
(1) X x = <p(x,y,t), y x = t{x, y, t), 
deren infinitesimale Transformation 
Uf==l 
a/- . df