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Kapitel 4, §§ 1, 2. 
nicht jede Function von tg tcx invariant, sonst müsste ja x eine Invariante 
sein, während doch x bei jeder Transformation der Schar um 1 wächst. 
Ein anderes hierhergehöriges Beispiel bietet die Schar von oo 1 Trans 
formationen 
x x = — x, y t = y + t, 
welche ebenfalls keine Gruppe bilden. Hier ist zwar x 2 eine Invariante, 
aber nicht x seihst. 
Andere Scharen von oo 1 Transformationen, die keine Gruppe bilden, 
besitzen überhaupt keine Invariante. Dies ist der Fall bei der Schar: 
= xt, y x = y + t — 1. 
Eine Invariante £l{x, y) .derselben müsste die Gleichung erfüllen: 
£l(xt, y -f- t — 1) = Sl{x, y) 
und zwar für jedes t. Für t — 1 ist sie erfüllt. Für t — 1 -j- St kommt: 
Sl{x -f- xöt, y -f- dt) = Q{x, y) 
oder, wenn man die linke Seite entwickelt 
erfüllt. Soll eine solche hei allen Transformationen 
x x = xt, y t = y -f- t — 1 
invariant sein, so muss also 
F(x x e~ Vl ) = F(xte—y— t + 1 ') == F(te~ t + 1 xe~^) = F(xe~v) 
sein. Da t beliebig ist, ist dies nur dann möglich, wenn F bloss eine 
Constante ist. Die vorliegende Schar besitzt also gar keine Invariante. 
Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe sind, oder sagen wir, 
da es im wesentlichen nur eine giebt, die Invariante einer eingliedrigen 
Gruppe ist einer einfachen geometrischen Deutung fähig. Um diese 
auseinanderzusetzen, bedarf es jedoch einiger Vorbereitungen. 
§ 2. Die Bahmcurven einer eingliedrigen Gruppe der Ebene. 
Wir wollen uns auf einen beliebigen Punkt p 0 mit den Coordi 
nateli cc Q , y 0 alle Transformationen unserer eingliedrigen Gruppe 
Xl = !f(x, y, f), y t = 4>(x,y,t) 
(1) 
ausgeführt denken. Bei diesen Transformationen geht er über in die 
Punkte (x, y), welche durch die Gleichungen