Die Bahncurven einer eingliedrigen Gruppe der Ebene. 
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(2) x = <p(x 0} y 0 , t), y = if(x Qt y bt t) 
bestimmt werden, in denen t willkürlich ist. 
Den Ort aller oo 1 Punkte, in welche ein bestimmter Punkt 
p 0 der Ebene vermöge aller Transformationen (2) der vorgelegten 
Gruppe übergeführt werden kann, nennen wir seine Bahncurve. Die Bahncurve. 
Gleichung derselben ergiebt sich durch Elimination von t aus den 
beiden Gleichungen (2) in der Form 
«0, V, %o, y 0 ) = 0 > 
in der x 0 , y 0 , die Coordinaten des ursprünglichen Punktes, die Rolle 
von Constanten spielen. Die Gleichungen (2) geben für jedes t einen 
Punkt (x, y) der Curve, insbesondere geben sie für den der identischen 
Transformation entsprechenden Parameterwert, also etwa für t = 0, 
den Punkt p 0 selbst. 
In dem Wesen des Gruppenbegriffs liegt es, dass alle Punkte auf 
der Bahncurve des Punktes p 0 eben diese Curve auch zur Bahncurve 
haben. Eine gewisse Transformation der Gruppe nämlich wird p 0 in 
einen beliebigen anderen Punkt p x auf der Bahncurve von p 0 über 
führen. Wenn man nun auf p x irgend eine Transformation der Gruppe 
ausübt, so wird dieselbe etwa p x nach p 2 bringen. Auch p 2 liegt, wie 
wir beweisen werden, auf der Bahncurve von p 0 . In der That, die 
Aufeinanderfolge jener beiden Transformationen der Gruppe, deren erste 
p 0 nach p x , deren zweite p i nach p 2 brachte, ist gemäss der Gruppen- 
definitiou einer einzigen Transformation der Gruppe äquivalent, welche 
direct p 0 nach p 2 versetzt. Aber alle Transformationen der Gruppe 
führen p 0 stets in Punkte seiner Bahncurve über, also auch diese, 
welche p 0 nach p. 2 bringt. Demnach liegt p. 2 , der Punkt, in welchen 
p ± bei einer beliebigen Transformation der Gruppe übergeht, auf der 
Bahncurve von p 0 . 
Satz 2: Ist hei einer eingliedrigen Gruppe der Ebene p x ein Punkt 
auf der Bahncurve des Punktes p 0 , so ist diese Curve auch Bahncurve 
des Punktes p L . 
Zu jedem Punkt gehört also eine Bahncurve, jede Bahncurve aber 
ist Bahncurve für ihre oo 1 Punkte. 
Die Überlegung, welche zum Satz 2 führte, lässt sich in einige 
wenige Gleichungen zusammenfassen, wenn man von einer einfachen 
Symbolik Gebrauch macht, die wir, da sie auch später benutzt wird, 
hier kurz auseinandersetzen: Wir wollen unter T a , T b , T c • • • die 
Transformationen unserer Gruppe verstehen, welche den Parameter 
werten t — a,b, c • • • zugehören, und unter T a T b die successive Aus 
führung der Transformationen T a und T b oder also die Transformation 
Lio, Differentialgleichungen. . 5