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Kapitel 4, §§ 2, 3. 
Ihre Auffindung erfordert also eine Integration. Kennt man jedoch 
die endlichen Gleichungen der Gruppe 
(1) X x = <p(x, y, f), y ± = if(x, y, t), 
so kann man die Bahncurven und mit ihnen die Invariante durch 
bloss algebraische Operationen bestimmen. Wir fanden ja die Bahn- 
curve des Punktes (x Q , y 0 ) durch Elimination von t aus 
x = (p(x 0 , y^, f), y = y 0 , ¿) 
in der Form 
W{x, y, x 0 , y 0 ) = 0. 
Da es nur oo 1 Bahncurven giebt, treten die Constanten x 0 , y 0 hierin 
nur in einer Verbindung auf und die letzte Gleichung der oo 1 Bahn 
curven lässt sich also umformen: 
f{x, y, c) = 0, 
sodass die Auflösung nach der (von x 0 und y Q abhängigen) Constanten c 
die Invariante 
&{x, y) = c 
liefert. Am bequemsten verfährt man, um die zwei Constanten x 0 ,y 0 
auf eine einzige zu reducieren, so, dass man y 0 einen bestimmten 
Zahlenwert, wie z. B. 1, erteilt. Alsdann stellt 
W(x, y, x 0 , 1) = 0 
alle von den Punkten der Geraden y == 1 ausgehenden Bahncurven 
dar, also alle Bahncurven überhaupt (sobald nicht etwa y = 1 selbst 
eine invariante Curve ist). Auflösung nach x 0 liefert nun etwa 
cj (x, y) = x 0 
und co(x,y) ist demnach die Invariante. 
Satz 7: Die Bahncurven und die Invariante einer eingliedrigen 
Gruppe der Ebene lassen sich auf rein algebraischem Wege finden, sobald 
die endlichen Gleichungen der Gruppe bekannt sind. 
Die früheren Beispiele von oo 1 Transformationen, die keine Gruppe 
bilden (siehe Schluss des § l), wollen wir jetzt geometrisch erläutern. 
Wir sahen, dass die Schar: 
x l = x + 1, y x = y + t, 
die keine Gruppe ist, die Invariante tg %x besitzt, während x keine In 
variante ist. Das geometrische Gebilde, welches durch tg nx = c darge 
stellt wird, wo c eine beliebige, aber bestimmte Constante sein soll, ist 
eine Schar von oo 1 discreten Geraden, die sämtlich der y- Axe parallel laufen 
und die Abstände 1 von einander haben. Bei einer jeden der obigen Trans 
formationen bleibt in der That die Gesamtheit dieser Reihe von Geraden 
ungeändert, indem sie die Punkte einer jeden dieser Geraden in die der 
nächsten Geraden der Schar überführt. Von Bahncurven kann hier nicht 
die Rede sein, da die Punkte sich bei jeder Transformation sprungweise 
ändern, indem x um 1 wächst.