jedoch 
Die bei allen Transf. einer eingl. Gruppe der Ebene invarianten Curven. 69 
Auch bei der Schar von oo 1 Transformationen 
Xl = ~ x, y x =y + 
durch 
Bahn- 
die keine Gruppe bilden und, wie wir sahen, die Invariante x 2 besitzen, 
giebt es keine Curven, die wir etwa als Bahncurven bezeichnen könnten. 
x 2 = c stellt zwei Geraden parallel der y-Axe dar. Ihr Inbegriff bleibt 
insofern bei allen obigen Transformationen ungeändert, als dieselben die 
Punkte der einen Geraden in die der anderen überführen und umgekehrt. 
Bei der Schar von oo 1 Transformationen dagegen: 
x x = xt, y x = y + t — 1, 
hierin 
Bahn- 
die auch keine Gruppe bilden und, wie wir sahen, keine Invariante besitzen, 
kann man sehr wohl von Bahncurven sprechen, da hier die identische Trans- 
formation und eine infinitesimale Transformation, nämlich x -j- k—, vor- 
0 OC C 'll 
kommt. Der Punkt (x 0 , y 0 ) wird durch die Transformationen der Schar 
mten c 
in die Punkte: 
X = x 0 t, y = y 0 -f t — 1 
übergeführt, also in die Punkte der Geraden: 
1 Vo 
mmten 
X 
_ _ y== i —y Q , 
curven 
selbst 
die durch (;r 0 , y 0 ) selbst hindurchgeht. Wir bemerken aber, dass jeder 
Punkt dieser Geraden wieder eine andere Gerade, nicht diese, als Bahn- 
curve hat, indem die obige Gleichung oo 2 verschiedene Geraden darstellt. 
Obgleich es hier einen Sinn hat, von Bahncurven zu reden, ist doch der 
Satz 2 oder 3 bei der vorliegenden Schar von oo 1 Transformationen, die 
i 
keine Gruppe bilden, nicht erfüllt. 
edrigen 
sobald 
§ 3. Die bei allen Transformationen einer eingliedrigen Gruppe 
* der Ebene invarianten Curven. 
Die Bahncurven haben die Eigentümlichkeit, dass eine jede für 
sich als Ganzes aufgefasst bei allen Transformationen der eingliedrigen 
Gruppe 
arn. 
Gruppe in Ruhe bleibt, indem alle Punkte der Curve wieder in Punkte 
derselben übergeführt werden. 
ine In 
fi arge - 
oll, ist 
laufen 
Trans- 
leraden 
die der 
r nicht 
igweise 
Fragt man andererseits überhaupt nach einer Curve, welche als invariante 
Curve. 
Causes aufgefasst hei der Gruppe in Ruhe bleibt, so findet man, dass 
dieselbe eine Bahncurve ist, sobald es wenigstens einen Punkt auf ihr 
giebt, der nicht bei allen Transformationen der Gruppe in Ruhe bleibt. 
Denn dieser Punkt geht ja bei Ausführung aller Transformationen der 
Gruppe über in Punkte seiner Bahncurve, während er doch auf der 
gesuchten Curve verbleiben soll. 
Es ist nun aber auch möglich, dass Curven existieren, deren 
sämtliche Punkte bei allen Transformationen der eingliedrigen Gruppe, 
und zwar jeder für sich, in Ruhe bleiben. Daun ist selbstverständlich