Die bei allen Transf. einer eingl. Gruppe der Ebene invarianten Curven. 71 
= 0 
ist vermöge 
co {x, y) = 0. 
Nach Theorem 4 (3. Cap. § 3) muss also 
<»(x,y) + \ü'o + £ li ü{üa) + •■• = () 
sein vermöge co(x,y)== 0 und zwar für jedes t. Dies liefert als ein 
notwendiges Kriterium, dass 
üco — 0 
oder ausführlich geschrieben: 
¡.dm . deo 
^ dx ^ dy 
0 
sein muss vermöge co = 0. Dies ist nun auf zweierlei Weisen möglich: 
Entweder sind £ und rj, die Coefficienten, einzeln beide Null. Alsdann 
sind alle Punkte (x, y) der Curve für sich invariant, also ist es auch 
die ganze Curve. Oder aber zweitens längs der ganzen Curve co == 0 
ist die Tangentialneigung 
djj = n 
dx ä ’ 
d. h. die Curve ist Bahncurve. Das als notwendig erkannte Kriterium; 
Uco = 0 vermöge co = 0 führt also gerade nur auf invariante Curven, 
ist daher auch hinreichend. 
Allerdings wäre es auch drittens möglich, dass und ~ ein 
zeln vermöge co = 0 verschwinden. Dies tritt z. B. ein, wenn man 
den Kreis mit Radius 1 um den Anfangspunkt durch die Gleichung 
(,x 2 -\-y 2 —1) 2 = 0 darstellt. Aber wir können immer voraussetzen, dass 
die Gleichung der Curve so geschrieben sei, dass dies nicht der Fall 
ist. Denn mau braucht sie nur etwa in der nach y aufgelösten Form 
co = y — f(x) = 0 
anzunehmen, in der also nicht Null vermöge co = 0 ist. 
Somit hat sich ergeben: 
Theorem 6: Es gieht zweierlei Curven, welche hei einer 
eingliedrigen Gruppe 
df 
dy 
der Ebene invariant sein hönnen. Die einen, stets vorhommen- 
den, sind die oo 1 Bahncurven der Gruppe; sie werden erhalten, 
indem man die Invariante der Gruppe einer Gonstanten gleich