Die bei allen Transf. einer eingl. Gruppe der Ebene invarianten Curven. 73 
Eine Reihe einfacher Beispiele soll die Entwickelungen dieses 
Kapitels erläutern, indem wir die Curven und Punkte aufsuchen, welche 
bei gewissen durch ihre infinitesimale Transformation Uf gegebenen 
eingliedrigen Gruppen invariant bleiben. 
1. Beispiel: Sei 
TT r df 
üf= x rT~ • 
' CiV 
Die von Uf erzeugte eingliedrige Gruppe ist die der affinen Trans 
formationen : 
#1 = x • e\ y 1 =*= y. 
Hier ist die Invariante Sl zu bestimmen aus 
gß A 
x -5— = 0. 
dx 
Daher darf = y angenommen werden. Die Curven y — Const. sind 
also die Bahncurven. Um die eventuell existierenden Curven mit 
lauter einzeln invarianten Punkten zu finden, haben wir £ — rj — 0 
zu setzen. Dies giebt hier nur x — 0, d. h. alle Punkte der y-Axe 
sind invariant. Die y- Axe ist folglich auch eine invariante Curve. 
Schematisch deuten wir diese Ergebnisse durch die Fig. 5 au, in 
welcher die Pfeile längs der Bahncurven y — Const. die Richtungen 
angeben, in welchen sich die Punkte vermöge der infinitesimalen Trans- 
o n 
formation x bewegen. Natürlich würden alle Pfeile umzukehren 
sein, wenn man die infinitesimale Transformation in der Form — x J~- 
angenommen hätte. 
<—X—*—X yxyxyyyyxx* 
Fig. 5. 
2. Beispiel: Sei 
Uf erzeugt die Gruppe 
Fig. 6. 
TTf df 
u f=v-^ 
% + yt, Vi = i)•