Einige wichtige Klassen von infinitesimalen Transformationen der Ebene. 75 
Daher ist Sl — ~ zu setzen. Die Bahncurven sind also die Geraden 
= Const. Die einzeln invarianten Punkte ergeben sich aus £ = tj = 0. 
Es kommt x 2 — xy — 0 oder x — 0. Also ist die y-Axe eine in 
variante Gerade, bestehend aus lauter invarianten Punkten (Fig. 8). 
Die endlichen Gleichungen def Gruppe sind, wie man berechnen möge: 
x i — 1 7 y Di 
1 1 — xt 7 
Weitere Beispiele zur Bearbeitung: 
__J/ 
1 — xt 
TJf habe eine der Formen: 
!) »H + » 
2 ) 
3) 
i£ 
dy > 
K 
dy ’ 
df' 
dy ' 
Man bestimme die invarianten Curven und Punkte bei den betreffenden 
von TJf erzeugten eingliedrigen Gruppen und berechne die endlichen 
Gleichungen dieser Gruppen entweder durch directe Integration des 
bekannten simultanen Systems oder durch Benutzung der Reihen 
entwickelung. 
Man beweise, dass der Kreis 
x 2 y 2 — 1 
bei allen Transformationen der von der infinitesimalen Transformation 
i x ~ Yx) JT + {y ~ fr) 1fr 
erzeugten eingliedrigen Gruppe invariant bleibt, und zwar ohne die 
endlichen Gleichungen dieser Gruppe zu benutzen. 
§ 4. Einige wichtige Klassen von infinitesimalen Transformationen 
der Ebene. 
Im Anschluss an die in den bisherigen Kapiteln dargestellteu 
Theorien wollen wir in diesem Paragraphen gewisse interessante Gat 
tungen von infinitesimalen Transformationen besprechen. 
1) Die projectiven infinitesimalen Transformationen. — Unter einer 
projectiven Transformation der Ebene versteht mau eine solche, welche 
alle Punkte einer beliebig gewählten Geraden wieder in die Punkte 
einer Geraden überführt. Aus der projectiven Geometrie entlehnen 
wir hier die Thatsache, dass eine projective Transformation der Ebene 
allgemein dargestellt wird durch zwei Gleichungen von der Form: 
Projective 
Trans 
formation.