erhalten*). Dabei sind wiederum cp und <1* durch gewöhnliche Differential-Gleichun 
gen als Funktionen ihrer Argumente näher bestimmt. Ich gebe mehrere bemerkens- 
werthe Particularlösungen dieser Gleichungen, die jedoch möglicherweise noch weitere 
Lösungen besitzen können. 
Ich suche sodann alle Flächen, deren geodätische Curven mehrere inf. Trans 
formationen gestatten. Diese Transformationen bilden dabei eo ipso eine Gruppe. 
Indem ich Beltrami's und Schläßi’s Untersuchungen über Flächen von constantem 
Krümmungsmaase mit meinen eigenen Untersuchungen über Transformationsgruppen 
verbinde, erkenne ich, dass nur die Flächen von constantem Krümmungsmaase mehr 
als drei und zwar acht infinitesimale Transformationen ihrer geodätischen Curven 
gestatten. 
Ich suche zunächst alle Flächen, deren geodätische Curven mehrere conforme 
inf. Transformationen gestatten. Ich zeige, dass alle diese Flächen durch die Gleichung 
F=A.(x — y) m 
bestimmt sind. (Unter diesen merkwürdigen Flächen findet sich insbesondere die lio- 
tationsfläche einer Curve 3. 0. mit Spitze). Soll unsere Fläche mehr als zwei con 
forme inf. Transformationen gestatten, so muss m= — 2 sein; dann aber hat sie con- 
stantes Krümmungsmaas. 
Ich suche sodann alle Flächen, die sowohl meiner ersten wie meiner zweiten 
Classe angehören, deren Bogenelement daher sowohl die Form 
ds' 2 — e ax <i>{x — y) dx dy 
wie die Form 
ds 2 = {y cp(x) -|- <P(x)) dx dy 
erhalten kann. Ich zeige, dass alle derartige Flächen durch die Gleichung 
F =. yx -)- D [D — Const.) 
bestimmt sind. Alle diese Flächen gehören zugleich meiner dritten Classe; ihre geo 
dätische Curven gestatten drei verschiedene infinitesimale Transformationen. Ifiese 
Flächen sind die einzigen, die gleichzeitig der zweiten und der dritten Classe an 
gehören. 
Ich suche endlich alle Flächen, die gleichzeitig der ersten und der dritten 
Classe angehören. Ausser der früher genannten Flächen F=yx-\-D giebt es noch 
weitere Flächenfamilien z. B. 
F=x-\~iy, 
F = * -i- 
0» + y)* ' (« — y) 
die diese Forderung erfüllen. Ich bestimme alle diese Flächen. 
*) Liouville bestimmt die geodätischen Curven aller Flächen, deren Bogenelement die Form 
ds 2 — (cp(x -y) -\- d>(x — y) ) dx dy besitzt. 
1 *