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also kommt 
Y _ Y dx dy' y dy y dy drf dx' 
dy dx' dy' dy 1 dx dy' dx' dx ’ 
&w . djd dy'_ 
dx dy 
und also nimmt (21) die Form 
Y dx d£' dy' , dx' dy' y dy drf dx' 
dx! di/ d.u . ' d.x. dm dy' dx' dx 
dx' dy' dy ■ y dx dy 
Wählt man daher x und y' derart, dass 
dx'= |/X c&c, dy'— |/Fdy, 
so kommt, 
wenn wir statt x 
und 
y’ bez. 
x und y 
(21') 
!i — e 
dx~ 
§ 
ii 
^*1 | 
^ 1 { JYc 
und 
dS v e . 
dw 
dy dw 
d*i; _ 
dx dy 
dy ~ 
dx dy 5 
dx dy 
pW dw _ 
dx 
di; dw 
dy dx 
Hierdurch nehmen die beiden letzten Bedingungs-Gleichungen (4) die Form 
dy 
dx 
dy 
dy 
dl 
dx 
,, dw dw 
^Xx~ Tl ~dy 
= 0, 
d 
dy 
t di; \ dri . . dw . div 
5 + + £ ~T r i 
woraus durch Integration 
(22) 
k drj di; 
dy dx 
„ dw 
v 
~ dx 
dw , v 
v%=<s), 
dy 1 3 dx 1 dy 
di; , dy . dw , dw s. 
5 +Tu+ i s+ r ‘^ =/( x ) 
0. 
dy 1 ' dx 1 1 dy 
Die vereinigten Gleichungen (21) und (22) sind aequivalent mit den Gleichungen (4). 
Die Gleichungen (2F) zeigen, dass man setzen kann 
dü 
~dx » 7/ 
dU 
e v 
d*U 
’,x ' dy 1 dx dy 
und zwar ist hierbei die Bestimmung unserer Flächen-Classe reducirt auf die Bestim 
mung der Funktion ü. Durch Addition der Gleichungen (22) kommt 
6 
6 
l d l __ 
d£\ 
l dy 
dx ] 
d 2 U 
d 2 U 
~~ 
dx 2 
Folglich besitzt U die Form 
=/(*)+%)• 
U = <p{x + y) + 4>(x — y) + X{x) + Y{y), 
und es wird 
(23) | = + + rj — (p'— <#>' —|— Y\ e w = (p" — <i>". 
Es steht somit nur zurück, die vier Funktionen (/), <#>, X, F, deren jede 
nur von