— 24 — 
• 13. Ich werde jetzt successiv alle Gruppen von Punkt-Transformationen einer 
Ebene betrachten. Ich stelle dabei die Forderung, dass die betreffende Gruppe eine 
zweifach unendliche Curven- Schaar, die sich nicht durch lineare Gleichungen dar stel 
len lässt, nngeändert lassen soll. Es ist klar, dass die geodätischen Curven der ge 
suchten Flächen nur eine solche Gruppe besitzen kann, die diese Forderungen erfüllt. 
Lass mich zunächst in meiner Aufzählung aller Gruppen der Ebene (A/chiv 
for Math. Bd. 3, pg. 138 u. s. w.) alle Gruppen mit einer Untergruppe der Form 
q, X(x)q betrachten. Lässt eine solche Gruppe eine zweifach-unendliche Curven- 
Schaar invariant, so giebt es jedenfalls Curven in dieser Schaar, deren Gleichung sich 
hinsichtlich y auflösen lässt. Sei y=zf{x) eine solche Curve der Schaar. Alsdann 
gehören sämmtliche Curven mit der Gleichungsform 
y —f{x) -\~a-\-hX 
der Schaar, die hiermit vollständig definirt ist. Aber diese Schaar wird dargestellt 
durch eine lineare Gleichung zwischen den Grössen y —f{x) und X. Gestatten daher 
die geodätischen Curven einer Fläche die Gruppe q, X{x)q, oder eine Gruppe, die 
diese zweigliedrige Gruppe umfasst, so hat die Fläche constantes Krümmungsmaas. 
Lass uns sodann alle Gruppen mit einer Untergruppe der Form q, yq be 
trachten. Lässt eine solche Gruppe eine zweifach-unendliche Curven-Schaar invari 
ant, so sei y —f{x) eine Curve dieser Schaar. Alsdann gehören alle Curven mit der 
Gleichungsform 
y = «./(») + & 
der Schaar, die hiermit definirt ist. Sie wird dargestellt durch eine lineare Gleichung 
zwischen den Grössen y und f{x). Gestatten daher die geodätischen Curven einer 
Fläche die Gruppe q, yq, oder eine Gruppe, die diese zweigliedrige Gruppe umfasst, 
so hat die Fläche constantes Krümmungsmaas. 
Hieraus folgt, dass die Gleichung der geodätischen Curven jedenfalls nur solche 
Gruppen gestatten kann, deren sämmtliche zweigliedrige Untergruppen entweder die 
Form p, q oder die Form p, xp -)- yq besitzen. 
Hieraus schliessen wir, dass die Gruppe einer jeden Differential - Gleichung 
2. 0. die nicht durch Punkt- Transformation in die lineare Gleichung y" = 0 über ge 
führt werden kann, eine der folgenden Formen besitzt: 
P\ P,F P, x P+yF PP, x P + hyq-, 
<h P, X P + {y + hx) q; P, xp + yq, Pp + (2 xyly*) q. 
Wenn daher die geodätischen Curven einer Fläche, deren Krümmungsmaas 
nicht constant ist, eine Transformationsgruppe gestatten, so enthält diese Gruppe jeden 
falls nicht mehr als drei Parameter.