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8. 
Spiralflächen, die der zweiten Flächen-Clause angehören. 
In diesem Paragraphen bestimme ich alle Flächen, die gleichzeitig der ersten 
und der zweiten Classe angehören. 
17. Da die gesuchte Fläche der zweiten Classe angehören soll, so kann ich 
immer setzen 
«”'=2/XO + ' #> (Oi 
und es soll möglich sein, wenn ich setze: y'=Y[y), x' — X[x), die Form 
e w — e u>x W{x — y) {uj=. Const.) 
zu erreichen. Dies giebt die Bedingungs-Gleichung 
[Ycp{x') -f 4*{x')] Y\y)X\x) = e MX F{x — y) = W 1 
wo 
dW , dW 
dx ‘ dy 
U) 
w 
ist. Setze ich daher: cp X' =zf[x), 4* X' = F{x), so erhalte ich zur Bestimmung 
von den drei unbekannten Funktionen F, f und F die Relation 
~i YY 'f+ Y ' F ) + r y ( YY y+ Y ’F) = <«{ YY ’f+ Y 'F) 
oder entwickelt 
(30) YY'f'+ Y'F' + {YY"+ Y' % — m YY')f-^-(Y" — ü)Y')F—0. 
Bestände nun keine Relation der Form 
(31) Const. f -)- Const. F' -|- Const. f-1- Const. F — 0, 
so müssten die Grössen YY\ Y\ YY"-\-Y‘' 2 — coYY' und Y" — wY' sämmtlich 
verschwinden, so dass ) — Const. käme. Dies ist indess unmöglich, und daher kön 
nen wir annehmen, dass f\ F\ f und F durch eine oder mehrere homogene lineare 
Relationen verbunden sind. Dabei ist zu bemerken, dass wir von dem Falle, dass f 
und F durch eine Relation der Form F= Const. f— A./ verbunden sind, wegsehen 
können. Denn dann käme 
e” = (YY’ -f- Ä Y’)f(x), 
sodass die Fläche developpabel wäre. Es bestehen daher jedenfalls nicht mehr als 
zwei Relationen der Form (31). Existirt auf der anderen Seite nur eine solche Re 
lation, so ergiebt sich, dass ein Ausdruck der Form Y\A-\- BY) identisch verschwin 
det, ohne dass die beiden Constanten A und B selbst gleich Null sind. In diesem 
Falle wäre daher Y— Const., was an und für sich unmöglich ist. 
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