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so gestattet sie zugleich die Transformation -(-£ a )jp-|-(77,-|-y^)q und gehört somit 
sowohl der dritten wie der zweiten Classe. Die einzige Flächenfamilie, die dieser An 
nahme entspricht, ist daher e v '~yx-\-D. 
§ 10 - 
Bestimmung aller Spiralflächen , die der dritten Classe angehören. 
Indem ich mir jetzt die Aufgabe stelle, alle Spiralflächen zu finden, die zugleich 
der dritten Classe gehören, kann ich von denjenigen schon bestimmten Flächen, die 
zugleich der zweiten Classe angehören, wegsehen. Zugleich kann ich wegsehen von 
den Flächen e V! — {x — y) m , die zwei conforme inf. Transformationen gestatten. 
26. Hiernach kann ich annehmen, dass die gesuchte Fläche nur eine Trans 
formation flx)p -|- rfy) ip etwa p-\-q, und eine oder mehrere Transformationen 
Sp+vq, wo ^ 
gestattet. Nach meinen Untersuchungen über Transformationsgruppen kann icli dabei 
immer annehmen, dass p -j- q und Spf-yq eine zweigliedrige Gruppe bilden: 
{p+Sp + v q)= f 1 {p+q)+ f 2 (£p+vq)- 
Ist hierbei s 2 ^ 0, so führe ich statt p-\-q und ip -(- y q die beiden Transformatio- 
] 8 
nen "— {p~{~ f) und $p-\-vq-\- 1 (p-\~q) ein. Hierdurch erkenne ich, dass ich 
E 2 E 2 
wenn «2^:0 ist, immer ohne wesentliche Beschränckung « 2 — 1, «i = 0 setzen kann. 
Ist dagegen e 2 — 0, so führe ich, wenn e 1 ^ 0 ist, statt Üp-f-yq die Transformation 
^ P 7 19) ein, und erreiche hierdurch dass gleich 1 wird. Endlich ist es 
£ i 
denkbar, dass gleichzeitig und s 2 gleich Null sind. Hiernach können wir uns auf 
die Betrachtung von den drei Fällen 
{p + q, $p+vq) = °; {p + q, £p+vq)—p + q-, [p+q, Sp+vq)=£p + vq 
beschräncken. 
27. Ich setze [p -j- cp gp -|- rj q) = s[p -)- q), woraus folgt 
dl- , d£ . dn | dn 
+ dx + dy^ 87 ^ 
und durch Integration, indem man die unwesentlichen Integration- konstanten weg- 
O/ O O 
lässt, 
£ =f{x — y) + f x 7 ij = (p(x — y) -\-ey.