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die überhaupt eine Transformationsgruppe besassen, begründen Hesse. Sodann gab 
ich in Arkiv for Mathematik og Naturvidehskah ßd. I. und III. in vier Abhandlun 
gen eine ausführliche Theorie der Transfonnationsgruppen einer zweifach ausgedehnten 
Mannigfaltigkeit. Und in weiteren Abhandlungen beabsichtige ich die Transforma 
tions-Theorie einer n - fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu entwickeln. 
Indem ich mich jetzt zur Verwerthung meiner Transformations-Theorie für 
gewöhnliche Differential-Gleichungen wende, halte ich es für zweckmässig, zuerst an 
einem speciellen Beispiele die Tragweite und überhaupt das Wesenm einer Untersuch 
ungsmethode auseinanderzusetzen. Und hierzu scheint mir die Differential-Gleichung 
der geodätischen Curven einer Fläche sich sehr gut zu eignen. Ich werde daher ver 
suchen in der nachstehenden Abhandlung die Transformationsgruppe der soeben be 
sprochenen Differential-Gleichung zu untersuchen. 
Ist das Bogenelement einer Fläche auf die Form 
ds 2 — F{xy) dx dy 
gebracht, so werden die geodätischen Curven dieser Fläche bekanntlich durch die 
Gleichung 2. 0. 
p <Ay __ dF dy clF / dy \ 2 
dx 2 dx dx dy \ dx ] 
bestimmt. Ist nun F eine arbiträre Funktion von x und , so gestattet diese Gleich 
ung keine infinitesimale Punkt-Transformation. Das heisst, es ist in diesem allgemei 
nen Falle unmöglich den Grössen x und y solche Incremente 
dx = fx y) d t, dy = ij(x y) d t 
zu geben, dass jede geodätische Curve in eine ebensolche, infinitesimal benachbarte 
Curve übergeführt wird. Es stellt sich daher die Aufgabe, die Grösse F in allge 
meinster Weise derart zu bestimmen, dass die Differential-Gleichung der geodätischen 
Curven eine infinitesimale Transformation gestattet: Ich zeige, dass es drei verschie 
dene Flächen-Glassen giebt, die diese Forderung erfüllen. 3) Entweder kann F durch 
Einführung von zweckmässigen Funktionen bez. von x und von y als neues x und 
als neues y die Form 
F=e aX( t>{x — y) (a = Const.) 
erhalten. Jede hierher gehörige Fläche besitzt die charakteristische Eigenschaft auf 
oc 1 mit ihr aehnlichen Flächen abwickelbar zu sein. 2) Oder auch kann F die Form 
y V{ x ) + *(») 
erhalten. . Dabei sind cp{x) und <P{x) näher bestimmt durch zwei gewöhnliche Diffe 
rentialgleichungen, die ich integrire. Oder endlich kann F die Form