§ 5.] Zweites Kapitel. Endliche Differenzen verschiedener Ordnungen. 
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Zweites Kapitel. 
Endliche Differenzen verschiedener Ordnungen. 
§ 5. Wir gehen nun dam über, zu zeigen, wie man in der 
Newton’sehen Formel die Berechnung der Coefßcienten auf successive 
Subtraction zurückführen kann. 
Zu diesem Zwecke bilden wir durch successive Subtraction folgendes 
System von Werten*): 
/■(«) t f(a + h)— f{o) ~=Af{a), Af(a+h)—Af{d)=A 2 f{a), A%a)... 
f{a-\-h) , f{a-\-2h)—f(a-\-h)=Af{a-\-h), A 2 f(a-\-h), A A f{a-\-ü)... 
f{a+2h),f(a+3h)-f{a+2h)=Af{a+2h), A*f(a+2h), . . . 
f(a-\-3h), f(a-\-4:h)—f(a-\-'dh)=Af(a-\~3h), . . . 
f(a-\-Ah), . . . 
Zur Abkürzung setzen wir: 
f{z -f h) — f{z) = Af(z) 
4f{z -f h) — Af{z) = A 2 f(z) 
z/ 2 f{z -f h) — A 2 f(z) = A A f(z) 
zT l ~ l f(z -{- h) — A n ~ x f{z) — z1 n f{z) 
Dabei verabreden wir, die Ausdrücke 
z/-(*), zYO), zY(*), . . . 
endliche Differenzen oder einfach Differenzen erster, resp. zweiter, dritter, etc. 
Ordnung von f(z) zu nennen.. 
Mit Benutzung dieser Ausdrucksweise können wir sagen, unser 
System (17) enthält: 
in der ersten Colonne die successiveu Werte der Function f{z)', 
in der zweiten Colonne die entsprechenden Werte der ersten Differenz A f(e); 
in der dritten Colonne die entsprechenden W erte der zweiten Differenz A 2 f{z) 
u. s. w. 
Wir bemerken dabei, dafs die Differenz n ter Ordnung von f(z) 
gleich der ersten Differenz der Differenz (n — l) ler Ordnung von f(z) ist: 
A n f(z) = AA’ l ~ x f(z) — A n ~ x f{z -f h) — A n ~ x f\z). 
*) Jede Colonne dieses Systems wird aus der vorhergehenden genau so ge 
bildet, wie die zweite aus der ersten.