XIV. Jahrgang. - Kr. 34.
Verbreitet st e Zeitung und wirksam st es Annoncen-Organ der St/
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4. ginn. Dir ,S(ad)erui Anieiger, Polili? ! ‘i S[,tl >ü IM Post,zri,nngz.Katal°g unter Nr. l -mg-,mg-».
Soimlae, den 7. Februar 1892. (loiminlii.)
®ec „Aachener Anzeiger. Politisches Tageblatt" erscheint - mit Ausnahme der Sonn- und Feiertage - täglich zweimal (in einer Morgen- nnd Abend-AuSaabe). - Man abonnirt bei allen deutsch^°^'^°"°" lür Mk. 3.50; in Aachen und Burtscheid für Mk. 3.25
Vierteljährlich. - D.e dem Blatte überwiesenen Anzeigen finden ohne Extra Berechnung auch im „Aachener Anzeiger. noncen-Drgan für den RegiernugS-Bezirk Aachen" Aufnahm« ~ Abbestellungen auf das „Politische Tageblatt" können nur dann
berück,ichttgt werden, wenn dieselben spätestens einen Tag vor Onartalschlnß geschehen und schriftlich oder mündlich im ^rpeditionslokale (Hartmannstraße 80, neben M. Jacobi's Nachf. Bnchha^"3) gemacht werden; durch die Trägerinnen werden
MiKblick auf die Geschichte der
Wechenkunst.
(Bortrag des Herrn Prof. Dr. von Mangold!
dei der Kaisersgebnrtstagsfeier der Königl. Technischen
Hochschule hier.)
Hochansehnliche Versammlung!
Mit freudig bewegtem Herzen feiern wir die dreinnd-
öreißlgste Wiederkehr des Geburtstages Seiner Majestät,
unseres erhabenen Kaisers nnd Königs Wilhelm des Zweiten.
Wieder liegt ein Jahr hinter uns, in welchem wir uns der
Segnungen des Friedens erfreuen durften, trotz aller rau
schenden Verbrüdernngsfeste. welche die Feinde in Ost und
West gefeiert haben. Jedes solche Jahr bestärkt uns in dem
Dank gegen Gott, daß Er auf Deutschlands Kaiserthron
einen Mann berufen hat, der es als seine heiligste Pflicht
wkennt, das Kleinod des Friedens zu bewahren, so lange
es die politischen Verhältnisse und die nationale Ehre nur
Igend gestatten, und zu dem wir zugleich das feste Ver
trauen haben dürfen, daß ihn die Stunde der Gefahr,
wenn sie je eintreten sollte, ans seinem Posten finden werde.
Das verflossene Jahr war in vieler Beziehung ein Jahr
der Vorbereitung, der Aussaat. Nach langen und schwierigen
Verhandlungen sind mit befreundeten Nationen Verträge
vereinbart worden, die bestimmt sind, unserm Handel und
unserer Industrie neue Absatzwege zu erschließen und die
niaterielle Wohlfahrt und das Gedeihen unserer stetig an
wachsenden Bevölkerung zu sichern. Vor wenigen Wochen
erst sind die Verhandlnugen unserer gesetzgebenden Körper
schaften über diese Verträge zum Abschluß gelangt. Daneben
find eine Reihe anderer Gesetzentwürfe, die zum Teil auf
die eigenste Initiative unseres jugendlich thatkräftigen Herr
schers zurückzuführen sind, teils in der Ausführung, teils
in der Vorbereitung begriffen. Möchte diese Saat kräftig
wachsen und gedeihen, möchte es unserm Kaiser beschieden
sein, dereinst auch die Zeit der Ernte zu erleben, und durch
Erfahrung bestätigt zu sehen, daß seine vielfachen Anregnn-
/» und Bemühungen zum Heil und Segen seines Volkes
atisgeschlagen sind. Das ist einer der Wünsche, die wir
'hm heile zu seinem Geburtstagsfeste darbringen.
In einer solchen Stunde, wie der gegenwärtigen, wo
wir die Alltagsarbeit ruhen lassen, um in weihevoller Stim
mung unserm Kaiser und König zu huldigen, ziemt uns
wohl ein Rückblick auf vergangene Zeiten und ein Vergleich
derselben mit unsern heutigen Zuständen. Denn ein solcher
Rückblick und Vergleich lehrt uns zu erkeunen, tvas unsere
Ahnen in friedlicher Jahrhunderte laug fortgesetzter Kultur
arbeit erreicht haben, und froh die Früchte ihres Fleißes zu
genießen. Er zeigt uns einerseits, daß unsere Vorfahren
nicht vergeblich gearbeitet haben, und andererseits, daß sie
das, was wir ihnen verdanken, nicht leichten Kaufes ge
wonnen, sondern nur durch mühevolle schwere Arbeit er
rungen haben. Dadurch werden auch wir zu immer neuer
und neuer Arbeit ermuthigt, und bestärkt in dem Vorsatz,
die auf das Wohl des ganzen Vaterlandes gerichteten Be
strebungen unseres allergnädigsten Kaisers durch ausdauernde
treue und aufopfernde Pflichterfüllung in unseren verschie
denen Berufen zu unterstützen.
Wir sind gewohnt, es heutzutage als etwas ganz Selbst-
verständliches anzusehen, daß Jedermann lesen, schreiben
und rechnen kann. Aber es war durchaus nicht immer so,
und die Zeiten, wo es anders rvar, liegen noch gar nicht so
sehr weit hinter uns. Mein Fach legt es mir nahe, ins
besondere die Frage zu behandeln, woher denn eigentlich die
jenigen elementarmathematischen Kenntnisse stammen, die wir
heute stolz als Gemeingut unseres ganzen Volkes bezeichnen
dürfen, wem wir dieselben verdanken, uitd tvann und tuie
sie sich in unserm Vaterlande verbreitet haben.
Außer den sogenannten arabischen Ziffern, deren wir uns
jetzt ganz allgemein bedienen, sind Ihnen allen die römischen
Zahlzeichen bekannt, die ja auch von uns noch hier und da
zur Angabe von Monats- oder Jahreszahlen benutzt werden.
In diesen römischen Zeichen finden Sie oben auf der ersten
Tafel zivei Zahlen angeschrieben (MDXY : CCCXLIX).
Tafel 1.
100000
50000
10000
5000
1000
500
100
50
10
5
MDXV CCCXLIX
* 9 9 9
S - S O O O @
O 9
1 i ‘ • ® • • *-•- • •
Schon das Lesen dieser Zahlen geht, wie Sie bemerken, nicht so
glatt von statten, wie das der unserigen. Man braucht einige
Seknnderi, bis man sich klar gemacht hat, daß das erste
Zeichen die Zahl 1515 und das zweite die Zahl 349 dar
stellt. Nun denken Sie Sich die Ausgabe gestellt, diese
beiden Zahlen zusammenzuzählen! Dann erkennen Sie
einen zweiten Nachtheil, den die Antvendnng der römischen
Zeichen mit sich führt: Sie gewähreu für das Nechnen
mit größeren Zahlen nicht die geringste Erleichterung. Wer
nicht im stände ist, die gesuchte Summe im Kopfe zu fin
den, dem hilft das Untereinanderschreiben der gegebenen
Zahlen in römischen Zeichen auch nicht weiter. Bei Be
nutzung dieser Zeichen ist die schriftliche Ausrechnung einer
Summe genau ebenso schwer, wie die Ansrechnnng im
Kopse. Aehnliches gilt natürlich von der Multiplication
und Division, ja die Unzweckmäßigkeit der römischen Zahl
bezeichnung macht sich hier noch viel empfindlicher geltend.
Es ist also durchaus keine gleichgültige Sache, in welcher
Weise man die Zahlen schriftlich durch Zeichen darstellt, nnd
es ist nicht etwa blos Zufall, daß unsere modernen Ziffern
die römischen in allen Enltnrländern verdrängt haben. Die
moderne Art der Zahlschreibung ist eben unvergleichlich viel
brauchbarer und geschmeidiger als die römische.
Abbestellungen niemals angeunmineu.
Dies beruht aber ans folgenden Gründen:
1. Jede der Zahlen 1 bis 9 wird durch einen beson
deren kurzen Schriftzug, eine sogenannte Ziffer, dar
gestellt, der nicht, wie etwa die römische VIII ans
anderen Zahlzeichen zusammengesetzt ist.
2. Jede der Ziffern 1 bis 9 hat neben ihrer ursprüng
lichen Bedeutung einen Stellenwert, d. h. sie stellt
je nach dem Platz, welchen sie einnimmt, bald Einer
dar, bald Zehner, bald Hunderte, bald Tausende u. s. tz.
3. Zu den 9 Ziffern 1 bis 9 tritt noch ein zehntes
Zeichen, die 0, hinzu, welches bestimmt ist, überall
da, wo es vorkommt, das Fehlen von Einheiten der
betresfenden Ordnung anzuzeigen.
Die Einführung des Stellenwertes der Ziffern und de:
Gebrauch der Null gewähren uns die Möglichkeit, jede be
liebig große gegebene Zahl durch die 10 Zeichen 0 ... 9 aus
zudrücken nnd die Einführung neuer Zeichen für die größeren
Zahlen zu vermeiden. Dieselben Kunstgriffe setzen uns in
den stand, die Addition von 2 beliebig großen Zahlen zu
rückzuführen auf die wiederholte Addition von je 2 Zahlen,
welche kleiner sind als 10, und deren Summe man ein für
allemal auswendig weiß, und ebenso die Subtraction, Mul
tiplication und Division größerer Zahlen ans eine Neihc
von Rechnungen, die sämmtlich mit kleineren Zahlen auszu
führen sind.
Den Römern waren diese Kunstgriffe gänzlich unbe
kannt, und gleiches gilt auch von den Griechen. Bei dieser
waren zu verschiedenen Zeiten verschiedene Arten der Zahl-
bezeichnung in Gebrauch. Aber keine derselben gab dec
römischen an Unbeholfenheit und Schwerfälligkeit das ge
ringste nach. Insbesondere ist von einem Stellenwert de:
Ziffern, oder einem Gebrauch der Null keine Rede. Des
wegen ist die Frage wohl berechtigt: Wie haben es dir
Alten eigentlich angefangen, auch nur mit denjenigen Rech
nungen fertig zu werden, die das bürgerliche Leben nnd de»
verhältnißmäßig hoch entwickelte Verkehr, die Slaatsver
tvaltung und Steuererhebung, sowie die Feststellung deh
Kalenders und der Chronologie tagtäglich mit sich brachten
und gar die rechnerischen Leistungen zu vollbringen, dir
wir in ihren mathematischen Werken niedergelegt finden? ;
Bei Beantwortung dieser Frage ist folgendes zu be
denken :
Die Alten zählten nach Zehnen, Hunderten und Taus
seuden ebenso wie wir, und die Worte für Zahlen, tuU
z. B. 5, 50, 500, die im Lateinischen quinque, quinga^
giiita, quingenti, und im Griechischen pente, pentekontfe
und pcntakosioi lauten, hatten bei ihnen ebensogut gleicher
Klang, wie bei uns. Der sprachliche Ausdruck ihrer ZahlcL
war alw zum Kopfrechnen ebensogut geeignet, wie be)
unsrige, nur die schriftliche Art der Darstellung war un
zweckmäßig. Deswegen wäre es an und für sich wohl mög>
lich, daß sie den größten Teil ihrer Rechnnngen im Kopfe
erledigt, und nur hier und da das Ergebnis einer Zwischen
rechnung niedergeschrieben hätten. Genialen Naturen, wie
einemArchimedes, einem Apollonius von Pergae, einem Hipparch,
einem Diophant, oder einem Ptolemaeus, die alle ihre Zeit
genossen weit überragten, ist ein solches Verfahren wohl
zuzutrauen. Aber die große Masse war hierzu sicher nicht
fähig. Sie muß sich bei ihren Rechnungen irgend welcher
Hülfsmittel bedient haben. Und in der That lassen sich
solche Hülfsmittel nachweisen, nämlich erstens ein ausgebil
detes Fingerrechnen, bei welchem die Einer und Zehner mit
der linken, die Hunderte und Tausende mit der rechten
Hand durch entsprechendes Strecken, Bengen oder Umleger
der Finger dargestellt rvnrden, und dann vor allem der so
genannte Abacus, oder zu Deutsch das Rechenbrett.
Als Rechenbrett bezeichnet man einen Apparat, der zeit-
lich und räumlich ungemein weit verbreitet, bei verschiedene»
Völkern nnd zu verschiedenen Zeiten verschiedene Konstruk
tionen erhalten hat, die aber alle auf den gleichen Grund
gedanken beruhen. Auch in unserm Vaterland war dieses
Hülfsmittel einst in ganz allgemeinem Gebrauch, besonders
im 16. Jahrhundert. Das Rechnen mit dem Rechenbrett
wurde damals als „Rechnen auf Linien" bezeichnet, zum
Unterschied von unserm heutigen Zifferrechnen, welches
Rechnen „auf der Feder" hieß. Wir besitzen ans jener
Zeit eine ganze Reihe von elementaren Rechenbüchern, in
denen das Nechnen auf den Linien ausführlich geschildert
wird, so z. B. von Jacob Köbel, Stadtschreiber zu Oppen
heim, „Ain New geordnet Rechenbiechlin anst' den linien"
ans dem Jahre 1516, und von Johann Albrecht ein „Re-
chenbüchlein auf der linien, dem einseitigen Mann oder
leien zu gut", welches mindestens 9 Auflagen erlebte.
Selbst ein Man», wie der ehemalige Angustinermönch Mi.
chael Stisel, der als einer der allerbedeutendsten Mathe-
matiker seiner Zeit bezeichnet tverden muß, hat es nicht vcr^
schmäht, in seiner „Deutschen Arithmetika" das Nechnen
auf Linien zu behandeln.
Noch bekannter als die eben Erwähnten ist Adam Riese,
der heute noch im Munde des Volkes fortlebt. „Nach
Adam Niese", so pflegt man ja zu sagen, wenn man die
zweifellose Gewißheit eines Ergebnisses elementarster Re
chenkunst zu bekräftigen wünscht.
Geboren 1492 zu Staffelstein in Franken''') lebte Riese
jedenfalls schon von 1515 an zu Annaberg in Sachsen,
war daselbst als Vergbeamter thätig, und hielt wie Andere
nebenbei eine Privatschule, in tvelcher er seine Rechenkunst
lehrte. Schon im Jahre 1518 veröffentlichte er seine
„Nechenung aufs der linihen, in Massen man es pflegt tzA-
lern in allen rechenschulen", ein Buch, welches sich 4 Jahre
später in neuem Gewände darbietet als „Nechenung auf der,
Linien und Federn, Anff allerley Handtierung". Durch
dieses kleinere Rechenbuch, welches tvährend des 16. Jahr
hunderts wenigstens 19, und im folgenden Jahrhundert
wenigstens noch 10 Auflagen erlebte, sowie durch ein spä
ter gedrucktes größeres Rechenbuch hat Riese seinen Ruhm
begründet.
Das Rechenbrett, dessen man sich im 16. Jahrhundert
bediente, war ein höchst einfacher Apparat. Es bestand
ans nichts weiter als einer Reihe von parallelen geraden
Linien, die auf einem Brett oder einer Tischplatte in glei
chen Abständen von einander querüber vom Rechnenden
von links nach rechts gezogen waren. Auf »einem solchen
Brett, w>e cs burch die Tafel 1 dargestellt wird, wurden
nun die vorkommenden Zahlen mit ^ilHHHHrwngen an
gelegt.
') Vgl. P. Tiruts-.'in, Das Rechnen im 16. Jahrhundert,
Zeitschrift für Mathematik und Physik, Supplement zur hist,
lit. Abteilung des XXII. Jahrgangs, 1877.
Die naive Breite und die urwüchsige Klarheit der alten
Rechenmeister sind zu köstlich, als daß ich mir versagen
sollte, das Verfahren zum teil mit ihren eigenen Worten zu
schildern.*) Zuerst ist „von krasst der Linien nnd jrer
Bedeutung" die Rede.
„Clar ist", so läßt sich Köbel vernehmen, „das die
vnderst linig Ains bedeut, Die zwait Zehen, die drit Hun
dert, Die fierd Tnnsent, u. s. w. vnnd also anff vnnd anff
So vielder Linien gemacht werden, Bedeut aine yede Linig
Zehen» mall als vil, als die nechst Linig vnnder yr." —
Zur Erhöhung der Uebersichtlichkeit wird empfohlen, stets
auf die vierte Linie „ain Crützlein oder sunst ain zeichn"
zu machen, um anzudeuten, daß sie 1000 bedeutet, nnd
daß von ihr „widernmb ain anfang ist ausf Tansant zu
zelen".
Aber auch die Zwischenräume, die sogenannten Spacien,
hatten ihren besonderen Werth: Es bedeutete nämlich „die
Erst vnd vnderst veldnug. oder spacium zwische der
Ersten vn zwaitcn Linien Fünff, Das Ander Spacium
zwischen der zwaytten on dritten» Linien fünfftzigk u. s. w.
vnnd also für ouud für Bedeut ain yeklich Spacium fünff
mal als bill, als die nechst Linig vnder ym, vnnd halb als
vil, als die nechst Linig ob ym". Etwas kürzer sagt Stifel :
„Ein jeder Rechenpfenning, der anff einem spacio ligt, be
deutet halb so vil als einer anff der nehisten linien drob
vnnd fünffmal so vil als einer anff der nehisten linien
drunder."
Nach diesen Festsetzungen ist es leicht, eine gegebene
Zahl mit Rechenpfennigen auf dem Rechenbrett anzulegen.
Als Beispiele sind in der Figur die beiden in römischen
Zeichen ausgedrückten Zahlen 1515 und 349 auch durch
Rechenpfennige dargestellt. Insofern bei dieser Art Zahlen
anzugeben jedem Rechenpfennig ein von seiner Lage ab
hängender Stellenwert zukommt, sehen wir hier schon einen
der vorhin erwähnten Kunstgriffe angewendet, ans denen
die Zweckmäßigkeit unseres Zahlensystems beruht.
Mit Hülfe des Rechenbretts kann man die Addition
zweier Zahlen fast ohne alles Nachdenken rein mechanisch
ausführen: Man legt eben beide Summanden in Rechen
pfennigen neben einander an, nnd hat dann nur die Vor- I
schrift der alten Rechenbücher zu beachten: „das du nit j
fünff Rechenpfening anff ainer Linien oder zwen in aim
spacium ligen lassen soll", sondern „alsdan soltu die selben»
fünff ausfheben vnd ain dar für in das nechst Spacium
ob der selben Linien legen. In gelicher weiß als osft du
zwen Rechenpfening in aim Spacium findest soltu alweg die !
zwen aufhebe vn ain dar für auf die nechst Linig ob dem |
selben spacium legen", so daß also nach beendeter Rechnung
auf jeder Linie höchstens 4 und in jedem Zwischenraum
höchstens ein Rechenpiennig liegen konnte. Nach dieser Regel
ist in der Zeichnung rechts die Summe der beiden links
angelegten Zahlen gebildet.
Ebenso einfach gestaltete sich die Subtractio». Erwies
es sich dabei als nötig, wie wir heute sagen „Eins zu
boren", nun so wurde je nach Bedürfnis ein weiter oben
liegender Rechenpfennig in mehrere weiter unten liegende
nnderteilt oder zerfällt, also z. B. ein Pfennig ans einem
Spacium weggenommen, und durch 5 Pfennige auf der
nächsten Linie darunter ersetzt.
Von dem bei dieser Art des Abziehens vorkommenden
wirklichen Wegnehmen oder Aufheben gleichwertiger Rechen
pfennige des 'Minuendus nnd des Subtrahendus stammt
unsere heutige Redensart „hebt sich", die bei so mancher
langen Rechnung schließlich die willkommene Lösung bringt.
Auch zur Multiplication nnd Division ließ sich das
Rechenbrett verwenden. Dabei wurde dasselbe zunächst durch
eine verticale von oben nach unten verlausende Linie in 2
Felder, sogenannte Banckire, abgeteilt War nun z. B.
irgend eine größere Zahl mit einer einziffrizen geraden
Zahl, also mit 2, 4, 6 oder 8 zu multipliciren, so wurde
nur die größere Zahl in dem rechts befindlichen Banckir
mit Rechenpfennigen aufgelegt, die kleinere dagegen im Kopf
behalten, oder nebenbei aufgeschrieben, und außerdem auch
gleich die Hälfte dieser kleineren Zahl notivi. Nun lautete
die Regel einfach folgendermaßen:
„Greifs auf die höchste lini, dar anff du etwas kaust
ausfheben, wenn es gleich nur ein Halbs were. So ossi du
nn einen Rechenpfenning aufhebst von der lini, die du
greyfst so oft mustu dein geschriebne zal gantz hinüber legen,
(nämlich in das linke Banckir) gegen deinem finger, das ist
eben anff die lini die du greifst. So osft du aber einen
Rechenpfenning aufhebst vom spacio vnder der linie die du
greifst, so offt mnstu dein geschribne zal nur halb hin
überlegen."
War so die Linie, worauf der Finger stand, und das
Dcmunex- vefindUche Spacium erledigt, so rückte mail den
Finger auf die nächste Linie darunter und verfuhr in
gleicher Weise. So allmählig alle Linien bis zur untersten
behandelnd, nnd die links angelegten Gruppen von Pfen
nigen in der bei der Addition geschilderten Weise verein
fachend rand man schließlich das gesuchte Produkt.
In anderen Fällen wird der Ausdruck der anzuwen
denden Regel in Worten schwerfälliger. Aber praktisch
ivaren alle diese Regeln, so umständlich sie auch lauten
mochten, doch leicht zu behalten und anzuwenden.
*) Nach Treutlein, a. a. O. S. 24 ff.
(Fortsetzung folgt.)
MilMick ans die Geschichte der
Hiechenkimst.
(Vortrag des Herrn Prof. Dr. von Mangold!
bei der Kaisersgednrtstagsfeier der Königl. Technischen
Hochschule hier.)
(Fortsetzung aus Nr. 32 d. Bl.)
Uns, die wir seit frühester Jugend im Nechnen geübt
sind, und das Einmaleins sicher im Kopfe haben, erscheint
jetzt das Rechenbrett als ein durchaus übersiüssiges In
strument. Aber für den ersten Unterricht im Nechnen hat
es, wie ich glaube, auch heute noch eine große Bedeutung.
Ein Satz wie „5 und 7 sind 12" hat ja an und für sich
keinen anschaulichen Inhalt; er ist abstrakter Natur und
deswegen für ein Kind zunächst gar nicht verständlich.
Aber „5 Rechenpfennige, und dann noch 7 dazu, sind 12
Rechenpfennige", das ist ohne weiteres klar.
^ Und noch eins ist zu bedenken. Mit den kleinen un
geübten Fingern Ziffern schreiben, und dabei gar noch
nachdeukeu zu sollen, das ist ja entsetzlich langweilig; aber
mit Pfennigen auf einer Tafel Zahlen anzulegen, dieselben
zusammenzuzählen und abzuziehen, sich jedesmal von neuem
darüber zu freuen, wenn 5 Pfennige auf einer Linie zu
sammengekommen sind, und durch einen im Spacium er
setzt werden können, und so spielend zu Ergebnissen zu
gelangen, die man vorher nicht kannte, das ist das reine
Vergnügen.
Schon die alten Rechenmeister haben dies eingesehen.
In Adam Riese haben wir gewiß einen erfahrenen alten
Praktiker vor uns, und seinem Zeugniß dürfte deswegen
besonderes Gewicht beizulegen sein. Er sagt aber:
„Ich habe befunden in Unterweisung der Jugend, daß
alleweg die, so auf den Linien anheben, des Rechnens fer
tiger und lauftiger werden, denn so mit den Zisiern, die
Feder genannt, ansahen. In den Linien werden sie fertig
des Zählen und alle Exempla der Kanfhändel und Aus
rechnung schöpfen sie einen besseren Grund, mögen alsdann
mit geringer Mühe auf den Ziffern ihre Rechnung voll
bringen".
Auch im Altertum war das instrumentale Nechnen in
Uebung. Schon das lateinische Wort ealculare für Rech
nen, und ebenso das griechische psephizein weisen darauf
hin. Denn calculus, vder griechisch psephos heißt Stein-
chen, und ealeulars oder psephizein ist soviel, wie mit
Steinchen hantieren. Aber es liegen noch bestimmtere
Nachweise vor. So erzählt znm Beispiel Herodot: „Die
Aegypler schreiben Schristzüge und rechnen mit Steinen,
indem sie die Hand von rechts nach links bringen, während
die Hellenen sie von links nach rechts führen". Und Poly-
bius vergleicht die Höflinge mit den Steinen auf dem
Rechenbrett. Wie diese nach dem Willen des Rechnenden
bald einen Chalkus, bald ein Talent gelten, so seien die
Höflinge auf den Wink des Königs hin bald hoch beglückt,
bald überaus elend.
Im Jahre 1846 ist auf der Insel Salamis eine
große marmorne Tafel von anderthalb Meter Länge und
drei Viertel Meter Breite gefunden worden, welche drei
Reihen von Zahlzeichen und zwei Gruppen von parallelen
Linien aufweist, und jedenfalls znm Rechnen gedient hat,
mag sie nun der Geschäftstisch eines Geldwechslers, oder
eine Art von Spieltisch gewesen sein. Aus dem römischen
Altertum sind uns sogar mehrere Exemplare von Rechen
tafeln erhalten geblieben. Dieselben Gedanken, auf
welchen das mittelalterliche Nechnen auf den Linien beruht,
haben hier zu einer äußerlich wenigstens völlig abweichenden
Konstruktion geführt. Die römischen Rechenbretter trugen
nämlich in der Mitte von rechts nach links die Zahlzeichen
für 1,10,100,1000 usw. Airs jedes dieser Zahlzeichen liefen
nun zwei Schlitze zu, von oben ein kleinerer, von unten ein
größerer. In jedem der unteren Schlitze waren 4 oder 5 Stifte
beweglich, in jedem der oberen einer. Solange diese Stifte
sich am Rande des Brettes befanden, hatten sie für das
Nechnen keine Bedeutung. Eine solche erhielten sie erst,
wenn sie gegen die in der Mitte befindlichen Zahlen ver
schoben wurden, und dann bedeutete jeder der unteren
Stifte eine Einheit, und jeder der oberen 5 Einheiten der
betreffenden Ordnung.
Es ist klar, daß man mit einem solchen Apparat in
ganz ähnlicher Weise rechnen kann, wie mit Pfennigen auf
dem mittelalterlichen Rechenbrett. Abermals anders fori*
struirte Rechenbretter gehören heute noch in Rußland zu
den unentbehrlichsten Gerätschaften.
Wie weit die Kenntniß des Rechnens bei den Griechen
und Römern in das Volk eingedrungen war, das wissen
wir nicht genau. Einerseits finden sich bei mehreren alten
Schriftstellern, z. B. bei Horaz und beim heil. Augustinus
Stellen, aus denen hervorgeht, daß das Rechnen zur Kaiser-
zeit einen Bestandtheil des römischen Schulunterrichtes bil
dete, aber andererseits ist es verdächtig, daß es als etwas
außerordentliches und besonders rühmenswertes galt, wenn
jemand gewandt zu rechnen wußte.
Allzuhoch werden wir die arithmetischen Kenntniffe der
großen Menge wohl nicht veranschlagen dürfen, zumal da
die Multiplikation größerer Zahlen und gar die Division
auch unter Benutzung des Rechenbretts immer eine ver-
ivickelte Sache bleibt. Um so hervorragender erscheinen die
rechnerischen Leistungen, die wir von Einzelnen ausgeführt
finden:
So hat z. B. Archimedes schon im 3. Jahrhundert
vor Christi Geburt eine angenäherte Berechnung jener be
kannten Zahl n ausgeführt, welche das Verhältniß des
Umfangs eines Kreises zum Durchmesser ausdrückt, und
als Schlußergebuiß seiner Entwickelungen einen berühmten
Satz gewonnen, dessen Inhalt wir heute kurz so ansdrücken:
Die Zahl n ist kleiner als 3 und aber größer als 3
und Das Schriftchen, welches diesem Gegenstand ge
widmet ist, führt den Titel „Ausmessung des Kreises". Es
ist im griechischen Urtext durch mehrere Handschriften über
liefert, welche in Florenz, Venedig und Paris aufbewahrt
werden, außerdem auch in lateinischer Uebersetzung durch
zwei alte Drucke aus den Jahren 1503 und 1543, und
ist in neuerer Zeit verschiedentlich im Druck herausgegeben,
und dadurch weiteren Kreisen zugänglich geworden.
Mit Staunen und Bewunderung sehen wir, in welch
geschickter Weise Archimedes die Schwierigkeiten der Rech
nung zu verringern, und es so einzurichten weiß, daß nir
gends gar zu große Zahlen vorkommen. Trotzdem schwellen
die Zahlen, mit denen er zu rechnen hat, im Fortgang der
Untersuchung mehr und mehr an, und gegen Ende der Berechnung
des oberen Nähernngswerthes hat er beispielsweise 23340«
mit sich selbst zu multipliziren, sodann 153 ebenfalls mit
sich selbst zu multipliziren, hierauf die Summe beider Pro
dukte zu bilden, die sich gleich 5472 1320i« ergibt, und
endlich für die Quadratwurzel aus dieser Zahl einen
Näherungswerth zu berechnen, der etwas zu klein sein muß.
Ein anderes uns erhaltenes Denkmal griechischen Geistes,
welches ebenfalls von der Gewandtheit einzelner Mathe
matiker des Altertums im numerischen Nechnen Kunde gibt,
ist das große astronomische Werk des Ptolemacns inegale
sjntaxis, bekannter unter dem Bastardnam n Almagest, der
im Mittelalter durch Zusammenschweißung des arabischen
Artikels al mit dem griechischen Worte meghtos entstanden
ist. Dieses Werk tvnrde um das Jahr 150 nach Christo
verfaßt. Wir finden daselbst unter Anderem eine Sehnen-
tafel berechnet, d. h. eine Tafel, welche in gewissem Sinne
mit unseren heutigen logarithmisch-trigonometiischen Tast"»
vergleichbar ist, und ähnlichen Zwecken diente, tuic* diese
letzteren. Nach einer Angabe des Theon von Alexandria
