hat schon Hippärch im 2. Jahrhundert vor Christo eine
solche Sehnentafel berechnet, aber leider ist uns dieselbe
nicht erhalten geblieben. Die in der Tafel des Ptoleinaeus
mitgetheilten Zahlen sind, wenn sie in modernen Decimal-
örüchen ansgedrückt weisen, bis auf irngefähr 5 Decimal
stellen genau. Man kann daher bei trigonometrischen Be
rechnungen mit dieser alten Tafel fast dieselbe.schärfe er
reichen, wie mit denjenigen 5stelligen Logarithmentafeln, die
heute so viel im Gebrauch und in unseren Schulen ganz
allgemein eingeführt sind.
Der Umfang der Tafel ist allerdings im Vergleich zu
unsern modernen Tafelwerken ein sehr bescheidener. Auf
4 Druckseitelk in OktawFormat würde sich ihr ganzer In
halt bequem wiedergeben lassen. Gleichwohl ist die Sehnen-
tdfel des Almagest als der Niederschlag und das Ergebniß
einer ganz gewaltigen Rechenarbeit anzusehen.
Diesen glänzenden Leistungen der Griechen haben die
Römer nichts Ebenbürtiges an die Seite zu stellen. Von
einem theoretischen Interesse an der Mathematik, oder einer
Weiterentwickelung mathematischer Gedanken und Methoden
finden wir bei ihnen keine Spur. Einen wirklich bedeutenden
Mathematiker hat es in Rom nie gegeben. Es ist, als ob
die vorwiegend juristische Begabung des römischen Volkes
d«l Sinn für mathematisches Denken völlig ertödtet hätte.
Der einzige Zw:ig der Mathematik, welcher in Rom ge
pflegt wurde — aber auch erst seit Caesar und Angustus
— war die Feldmeßkunst. Wie es damit beschaffen war,
sehen wir aus einer Sammlung von Schriften römischer
f eldmesser, die unter dem Namen der agrimensorischen
andecten auf uns gekommen sind. Ueber dieses Werk ur
theilt der um die Geschichte der Mathematik so hochverdiente
Hermann Hankel folgendermaßen: „Es läßt sich schwer sa
gen, ob die Rohheit der Darstellung, oder die Dürftigkeit
und Fehlerhaftigkeit des Inhalts den Leser mehr abschreckt.
Die Darstellung ist unter aller Kritik; . . . von Defini
tionen der Gruudbegriffe, oder einem Beweise der mit
geteilten Vorschriften keine Rede Der Totaleindruck
ist der, als ob die römische Gromatik Tausende von Jahren
älter als die griechische Geometrie sei, und zwischen beiden
eine Sündfluth liegen müsse."
S
00
CD
/Wückökick auf die Kcfchichie der
/ Nechenkmnst.
(Vortrag des Herrn Prof. Dr. von Mangoldt
her der KarssrsgshnrLsLagsfeier der Körrigl. Technischen
Hochschule hier«)
(Schluß.)
Die Stürme der Völkerwanderung bewirkten ein ' ich
tieferes Sinken der lnarhematischen Bildung. In der ganzen
Zeit vom Untergang -13 weströmischen Reiches bis gegen
das Jahr 1000 können tvir uns die mathematischen Kennt
nisse des christlichen Abendlandes gar nicht dürftig genug
vorstellen. Als ein wahres Glück ist es anzusehen, daß
das Concil zu Nicaea die Feier des Osterfestes ans den
ersten Sonntag nach dem ersten Vollmond nach der Frühlings-
Tag- und Nachtgleiche festgesetzt, und durch diese verwickelte
Bestimmung die Nothwendigkeit hervorgerufen hatte, Jahr-
für Jahr das Datum jenes Vollmondes und des Osterfestes
besonders zu berechnen. So hatte die Kirche einen Anlaß
darauf zu dringen, daß in jedem Kloster wenigstens eine
Person vorhanden wäre, die es verstünde, die Ordnung der
kirchlichen Feste und den Kalender für das laufende Jahr
festzustellen. So kam Karl der Große dazu, in einer
im Jahre 789 ans Aachen datirten Verordnung, unter
den Gegenständen, die in allen Klosterschulen gelehrt werden
sollten, ausdrücklich den sogenannten Compntns, d. h. die
kirchliche Zeitrechnung, zu erwähnen, und so blieb der
Arithmetik in der kirchlichen Erziehung des Mittelalters
immer ein bescheidenes Plätzchen gesichert. Dürftig genug
allerdings mag der Unterricht im Rechnen gewesen sein;
ist es doch wahrscheinlich, daß in den meisten Schulen
nicht einmal das Einmaleins auswendig gelernt wurde.
Erst durch den Mönch Gerbert, der'später unter dem
Namen Sylvester II. den päpstlichen Thron bestieg, wnrac
eine Wendung zum Besseren herbeigeführt. Von ungefähr
972 an war Gerbert eine längere Reihe von Jahren
hindurch an der Klosterschule zu Rheims als Lehrer
thätig. Dort hat er, wie einer seiner Schüler berichtet,
gerade auf den Nechennnterricht besondere Mühe verwendet.
Auch in feinem späteren sehr bewegten Leben hat er bei
allen Wechselfällen des Schicksals Zeit gefunden, sich ma-
thematischen Studien zu widmen, und sogar eine Reihe von
Briefen und Schriften mathematischen Inhalts zu verfassen.
Auf ihn ist, wenn nicht die Erfindung, so doch die
Verbreitung einer gänzlich neuen Art des Rechnens zurück
zuführen, die sich Jahrhunderte lang erhalten hat, näinnch
der Rechnung mit sog. Apices in Colnmiieii. Auch bei dir.' x
neuen Methode bediente man sich eines Abacns oder Rechen
bretts. Dieser Abacns war ebenso wie das vorhin beschrie
bene Rechenbrett durch parallele Linien abgetheilt, aber nicht
in horizontale Streifen, sondern in vertical von oben nach
unten verlautenden Columnen. Von diesen Columnen diente
die am weitesten rechts befindliche zur Darstellung der
Einer, die links daneben liegende zur Darstellung der
Zehner u. s. f. Aber die vorkommenden Zahlen wurden
nicht etwa mit Rechenpfennigen aufgelegt, sondern durch
9 verschiedene eigenthümlich gestaltete Zeichen
für die Zahlen 1—9 dargestellt. Diese Zeichen
hießen Apices. Sie waren anders geformt als alle Buch
staben des Alphabels, und wurden entweder schriftlich in
die Columnen des Abacns eingetragen, oder sie stau'
in Horn, oder sonst einem Material nachgebildet, in g; ir
gend er Menge zur Verfügung, und tvnrden beim Rechnen in
die Columnen eingelegt. Durch Gerbcrts Ansehen erlangte
diese Art des Rechnens in den Klöstern Deutschlands md
Frankreichs eine weite Verbreitung.
Damit lvar ein wichtiger Schritt vorwärts gethan, und
eine erhebliche Annäherung an die moderne Art des Rech-
tlens erreicht. Denn in den Apices haben wir Ziffern vor
uns, die durch die Columnen des Abacns Stellenwert er
hielten. Nur die Null fehlte noch, und wurde eben durch
den schwerfälligen Abacns mit seinen Columnen vertreten.
Es leuchtet ein, daß man ans einem solchen Abacns
alle vier Species ebenso ausführen kann, wie wir es
heute ohne Columnen, aber mit Anwendung der Null
thun. In der That waren die Regeln der alten
Abacisten für die Addition, Subtraktion und Multiplika
tion nicht wesentlich von den unsrigen verschieden. Nur
bei der Division bestanden größere Unterschiede. Um be
- %t. 38.
samstes Anrrorreerr - Orgarr der Stadt. “UH
Q Hluff Für die Redaktion verantwortlich: Franz Erasmus. Rotationsdruck: I. La Rnelle.
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iemals angenommen.
greiflich zu machen, wie es überhaupt möglich war, hierbei
anders zu verfahren, als wir es gewohnt sind, will ich
nur eine der Regeln, welche in einem von Gerbert selbst
verfaßten Büchlein über die Division der Zahlen ansge-
stell werden, an einem einfachen Beispiel erläutern:
Sei 257 durch 6 zu dividiren. Dann wird zunächst der
Divisor 6 durch Hinzufngung von 4 Einheiten zu einem
vollen Zehner ergänzt, und der Dividendus 257 wird in
einen Hauptbestaildtheil 200 und einen Nebenbestandtheil
* 57 zerlegt. Nun wird als erster Schritt der Division 200
durch 10 getheilt, was 20 als ersten Posten des Quo
tienten ergibt. Nun sollte ja aber nicht 200 durch 10,
! svndern 257 durch 6 dividirt werden. Mari hat also ge-
! wissermaßen Fehler gemacht, und um diese wieder anszn-
gleichen. werden jetzt 4. 20 — 80 zu dem bisher außer
acht gelasicnen Nebenbestandtheil 57 des ursprünglichen
Dividendus hinzugefügt. Das gibt 137, und jetzt geht es
in genau derselben Weise weiter: 137 — 100 + 37; 100
durch 10 gibt 10 als 2. Posten des Quotieirten usw. So
fortfahrend erhält man nach und nach nicht weniger als 6
einzelne Posten, durch deren Addition schließlich der ge
suchte Quotient entsteht.
Einfache Ueberlegnngen zeigen, daß man aus diesem
Wege in der That schließlich den richtigen Quotienten er
hält, zwar langsam aber sicher, und was diese Methode vor
der nnsrigen voraus hat, ohne jedes Probiren.
Nun bedenke man, daß Gerbert in dem erwähnten
Schriftchen nicht weniger als 9 verschiedene Fälle unter
scheidet und dabei 3 wesentlich verschiedene Methoden der
Division entwickelt, die aber alle gleich umständlich sind;
man bedenke ferner, daß alle diese Regeln kurz und nnbe-
hnlflich und ohne jede Erläuterung vorgetragen werdeir,
dann wird mau cs begreiflich finden, daß einer seiner
Schüler nicht müde wird, hervorzuheben, wie viel Schweiß
die Mathematik gekostet habe, daß ungezählte Schriften
über die Division entstehen konnten, ehe unser heutiges
Verfahren allgemein in Ausnahme kain, und daß es in
Italien zu einem Sprichwort wurde „dura cosa e la
partita."
Bis tief in das 12. Jahrhundert hinein hat sich der
schwerfällige Abacns erhalten. Erst dann wird er durch
den Gebrauch der Null abgelöst.
Wer die Null erfunden, oder zuerst angewendet hat,
ob sie überhaupt als die geniale Erfindung eines Einzel
nen, oder als das Endergebniß einer allmählichen Ent
wickelung entstanden ist, das wissen tvir nicht. Sicher ist
nur, daß sie ans Indien durch Vermittelung der Araber
zu uns gelangte. Die bis jetzt bekannt gewordenen Werke
der Sanskrit-Litteratur gestatten uns, die Anwendung der
Null 'n J"di"n bis etwa 400 Christo zurück zu ver
folgen. Daß sie schon erheblich anher in Gebrauch gewesen
sein sollte, ist unwahrscheinlich.
Aus Indien gelangte das Rechnen mit der Null zu
nächst nach Bagdad, wo die Wissenschaften unter der Dy-
imftie der Massiven mit dem größten Eifer gepflegt wur
den. Unter dem Chalis Almümnn, der 813—833 re
gierte, verfaßte ein gewisser Mshammed ben Musa Al-
charismi, d. h. ans Charism, dem heutigen Chiwa, ein
Lehrbuch der indischeil Rechenkunst, welches bei den Arabern
lange Zeit in hohem Ansehen verblieben ist. Aus dieser
Quelle, die vielleicht anfangs wch durch direkte Zuflüsse
aus Indien verstärkt wurde, gingen dann eine große Reihe
von Schriften über den gleichen Gegenstand hervor, welche
die Kenntniß des indischen Rechnens in allen Theilen des
weiten arabischen Reiches bis nach Spanien hin ver
breiteten.
Von der ersten Hälfte des 12. Jahrhunderts an fand
dann die indische Arithmetik auch im christlichen Abendland
Eingang, zuerst in Klöstern und Schulen durch lateinische
Uebersetzungen und Bearbeitungen arabischer Schriften, und
dann ins praktische Leben durch den regen Handelsverkehr
mit den arabisch gewordenen Küstenländern des Mittel-
meeres, und das damals in Italien neu entstehende Bank
wesen. Aber nur langsam und schrittweise drang die
neue Kenntniß vor, und mannigfaltig warelt die
Hindernisie, die sie zu überwinden hatte. Eine nicht
zu unterschätzende Schwierigkeit bestand zunächst darin,
daß das indische Rechiren wenigstens einige Kenntniß
des Schreibens voraussetzte. Dadurch blieb es lange Zeit
auf die Kreise der Gelehrten und des besseren Handels-
staitdes beschränkt. Gerade im Jank- und Geschüftswesen,
wo sich die Unbeholsenheit der allen Rechnungsarten mit
fortschreitender Eritwickelnug immer empfindlicher geltend
machen mußte, trat aber noch eir weiteres Hinderniß hinzu,
nämlich das Vorurteil, daß Angeben in arabischen Ziffern
nachträglich leichter gefälscht werden könnten, als solche in
römischen Zeichen. Aus diesem Grunde wird im Jahre
1299 den Florentii'^- .-verboten, in ihren Büchern
arabische Ziffern anzuwenden. ^ ' Arrch in anderen italieni
schen Städten scheinen Zahlen, die in arabischen Ziffern
geschrieben waren, keine gerichtliche Beweiskraft besessen zu
haben. Denn in den zahlreich erhaltenen Geschäftsbüchern
des 14. Jahrhunderts finden sich durchweg römische Zeichen
angewendet. Erst in be» letzten Jahrzehnten des 14. und
im Ansang des 15. Jahrhunderts dringen die arabischen
Ziffern vor, aber zuerst nur schnchtcrn und vereinzelt. In
den ältesten Geschäftsbüchern, in denen sich die neuen Ziffern
vorffnden, sind nur die Seitenzahlen, oder die Beträge der
letzten für die kleinste Münzeinheit bestimmten Columne in
arabischen Ziffern geschrieben. Bei den Pfennigen war
man offenbar in Bezug aus nachirägliche Fälschungen nicht
so ängstlich. In anderen Büchern werden die Summen der
einzelnen Seilen und die Saldi seitwärts mit arabischen
Ziffern angedeutet, oder überrechnet, und in einem Buche
finden sich sogar zwei Geldrnbrikcn, eine innere in arabi
schen Ziffern zum eigenen Gebrauch, und eine äußere mit
denselben Beträgen in römischen Zeichen für die Hüter des
Gesetzes.
Ganz dieselben Erscheinungen wiederholen sich in
Deutschland. In den Rechenbüchern des Frankfurter Rates
erscheinen 1494 mitten zwischen römischen Zeichen die ersten
arabischen Ziffern. Aber wenige Wochen daraus wird den
Rechenmeistern durch einen Ratsbeschlnß die Benutzung
der letzteren verboten. Erst 1546 kehren die arabischen
*) Vgl. A. Na gl, Ueber eine Algorismusschrift des XII.
Jahrhunderts und über die Verbreitung der indisch-arabischen
Rechenkunst und Zahlzeichen im christl. Abendlande, Zeitschrift
für Mathematik und Physik, hist. lit. Abteilung, 34. Jahrg. 1889.
Ziffern wieder, um dann allmählich die römischen ganz zu
verdrängen.
Etwa von der Mitte des 16. Jahrhunderts an fand
die neue Art der Zahlbezeichnnng in Schrift und Druck
allgemeine Verwendung.
Ebenso spät haben sich unsere heutigen Methoden des
Rechnens eingebürgert. Ter Italiener Lnca Pacioli führt
in seiner 1494 geschriebenen summa de aritmetica usw.
nicht weniger als 8 verschiedene Methoden der Multipli
kation auf, von denen eine besonders leichtverständliche auf
der Tafel 2 an dem Beispiel 987 .456 dargestellt ist.
T-rfe! 2.
IW— y
9 8 7
Nachdem die beiden gegebenen Zahlen 987 und 456 in der
durch die Figur veranschaulichten Weise oben und rechts an
die Seiten eines Rechtecks angeschrieben sind, werden die
einzelnen Felder dieses Rechtecks durch die Prodncte der
jenigen Ziffern ausgefüllt, die mit ihnen in gleicher Zeile
und Colonne stehen. In das oberste Feld links kommt also
4.9 — 36, in das Feld rechts daneben 4.8 — 32 «. s. f.
Dabei werden immer die Zehner links oben, die Einer
rechts unten ausgeschrieben. Durch Addition der schräg von
rechts oben nach links unten auf einander folgenden Ziffern
ergibt sich dann das Product 450072, welches um die
Ecke geschrieben links und unten am Rande erscheint.
Auch in den deutschen Rechenbüchern des 16. Jahr
hunderts werden noch verschiedene Methoden der Mnlti-
plication erwähnt, und erst im weiteren Verlaus d^Z Jahr
hunderts macht die Mannigfaltigkeit einer größeren Ein
förmigkeit Platz. Unsere heutige Methode der Division hat
sogar erst im Ansang des gegenwärtigen Jahrhunderts die
älteren weniger bequemen Methoden völlig verdrängt.
Viel langsamer noch, als das indische Rechnen selbst,
hat sich die Einsicht Bahn gebrochen, daß man die Kenntniß
desselben von Jedermann verlangen könne und müsse.
Bücher zur Ausbreitung der neuen Methoden sind aller
dings im 17. und 18. Jahrhundert in mehr als genügen
der Menge verfaßt worden, darunter auch solche, die sich
an ganz spezielle Kreise wendeten z. B. 1612, „Plenaria
aritmetica usw. neben angehängter Konferirung und Ver
gleichung des Frucht- und Weinmasses usw., allen Wein-
Händlern und Zäpsern nütz und dienlich", oder 1725,
„Rechenbüchlein vor Weibesbilder auf ganz besondere und
neue Art kurz zu rechnen" von Theodor Eusebius Bertram.
Aber die Schulen haben den drängenden Ansorserun-
gen des praktischen Lebens nur langsam imb zögernd nach
gegeben. Im Zeitalter der Reformation war man vielfach
der Ansicht, das indische Rechnen sei für Knaben zu schwer
und gehöre gar nicht in die Mittelschule, sondern ans die
Universität, wo damals in der That Vorlesungen darüber
gehalten wurden. In den Gymnasien war keineswegs
überall arithmetischer Unterricht'eingeführt, und wo er sich
in den Lehrplan ausgenommen zeigt, tritt er erst in bm
Obertassen aus. Daß auch da die Anforderungen nicht zu
hoch gespannt wurden, beweist eine Vorschrift, welche noch
lange nachher am Karlsruher Gymnasium in Kraft bestand,
nämlich es solle in der Klasse, welche unserer heutigen
Obersecnuda entspricht, „ein gutes Ingenium die Regel-
detri erlernen können".
Hochansehnliche Versammlung! Es ist ein Stück Cnl-
turgeschichte, welches sich vor unsern Augen entrollt, wenn
wir dem Ursprung und der Entwickelung unseres heutigen
Rechnens nachgehen. Wir sind vorwärts gekommen, und
Regeldetri wird heutzutage auch vom schlechtesten Ingenium
verlangt, und nicht erst in Obersecnnda. Aber Jahrhun
derte hat es gedauert, bis das Zweckmäßige und Vollkom
mene das Althergebrachte überwand. Ans dem eng be
grenzten Gebiet des numerischen Rechnens bat die Entwicke
lung einen gewissen Abschluß erreicht. Aber ans andern
Gebieten der menschlichen Cultur stehen auch wir noch mit
ten im Wechsel der Zeit. Auch wir haben alle Kräfte an
zuspannen, wenn wir fortschreiten wollen in Cultur und
Gesittung, denn
„Das Gute, das Wahre führt ewig Streit,
Nie wird der Feind ihm erliegen".
Vielleicht werden spätere Jahrhunderte auf das unsrige
mit den gleichen Gefühlen zurückblicken, wie wir ans die
vergangenen, und es kaum begreiflich finden, daß so manche
alte Einrichtung und Gewohnheit zäh sich behaupten konnte,
während Besseres, an ihre Stelle zu setzendes schon klar er
kennbar zu Tage trat.
Doch so verlockend es sein mag, diesem Gedanken nach
zuhängen, hier ist nicht der Ort dazu. Fern sei es von
mir, ans Tagesfragen einzugehen, rnrd in den Streit der
einander noch bekämpferrden Ansichten und Meinungen ein
greifen zu wollen. Heute soll nur das zu Worte kommen,
was uns Alle eint: Die Liebe zu unserm Vaterland!
Ja, wir haben ein Vaterland, in welchem alle Kräfte,
die in ehrlichem, uneigennützigem Streben ans das Wohl
des Ganzen gerichtet sind, frei sich entfalten können, und
wir haben einen Kaiser, dem das Gedeihen und der Fort
schritt seines Volkes am Herzen liegen! Des dürfen wir
uns freuen, und diesem Bewußtsein bitte ich Sie Ansdruck
zu geben, indem Sie mit mir einstimmen in den Ruf:
Seine Majestät, unser allerguädigster Kaiser
und König Wilhelm !§., er lebe hoch!
