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Es ist nämlich — der Grenzwert des Ausdruckes 
ffX 
f (x 4- A X, y) — f (x, y) 
Ax 
für ein unendlich kleines Ax. Betrachtet man darin x und Ax als 
Konstanten und erteilt dem y einen Zuwachs A y, so lautet der be 
treffende Differenzquotient 
f (x -f A x, y -f A y) — f (x, y -f Ay) f(x + Ax, y)f (x, y) 
A x A x 
A y 
Dessen Grenzwert für unendlich kleine Werte von Ax und Ay ist 
5 2 z 
9 x 9 y* 
Denselben Differenzquotienten erhält man aber, wenn zuerst 
dem y und dann dem x ein Zuwachs erteilt wird; demnach ist es 
gleichgültig, in welcher Reihenfolge die Differentiation 
ausgeführt wird. 
166. Beispiel. Wie lauten die zweiten partiellen Differential 
quotienten der Funktion 
z = a x 3 -j- b x 2 y -f- c x y 2 ? 
Auflösung. 
d X 
9- 
32 , 
3ax 2 -j-2bxy-|-c y 2 , 
b x 2 -j- 2 c x y, 
6ax-j- 2 b y, 
<9x 2 
9~ z 
^—Tr- = 2bx-)-2cy, 
<?X dj 
C X. 
167. Beispiel. Wie lauten die zweiten partiellen Differential 
quotienten der Funktion 
los: 
+ 
Auflösung. 
x y. ( x — y) 
x + y ( x ' 
( x + y) __ 2 y 
9 z 
9 x x y (x — y) 2 y 2 — x 
Sz _ x ~ y _ (x — y) 4- (x 4- y) __ 2x 
9j x-f-y (x — y) 2 x 2 — y