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und durch wiederholte Differentiation dieser Gleichung erhält man 
die höheren Differentiale von z. 
XII. Integralrechnung. 
1. Das unbestimmte Integral. 
Aufgabe der Integralrechnung ist, jene Funktion f (x) zu er 
mitteln. deren Differentialquotient f' (x) gegeben ist. 
Das Differential der gesuchten Funktion ist d f (x) = f' (x) dx 
und jene Rechnungsoperation, welche hieraus die Funktion f (x) 
herstellt, heißt die Integration des vorliegenden Differentials; 
sie ist die der Differentiation umgekehrte oder inverse Operation. 
Das Resultat dieser Operation, also die ermittelte Funktion f(x), wird 
das Integral des gegebenen Differentials genannt. 
Die Relation, welche zwischen der gesuchten Funktion f (x) 
und ihrem Differential f (x) d x besteht, wird durch die Gleichung 
ausgedrückt, d. h. »f(x) ist das Integral von f'(x) dx«. 
Es ist dies nur eine andere Form für die auch durch die 
Gleichung df(x) = f(x)dx ausgedrückte Beziehung. 
Aus der Differentialrechnung ist bekannt, daß die Funktion 
f(x) nicht nur durch Differentiation von f(x), sondern auch durch 
Differentiation von f(x) -(- C erhalten wird, wenn C eine Konstante ist. 
Man muß daher im allgemeinen statt Gleichung 162) die 
folgende schreiben; 
. Jf(x)dx = f(x) + C, 
163) 
d. h. das Integral eines gegebenen Differentials f (x) dx ist stets 
noch um eine Konstante C zu vermehren, deren Wert im allge 
meinen unbestimmt ist, in einem speziellen Falle jedoch aus den 
Bedingungen der Aufgabe ermittelt werden kann. 
C heißt die Integrationskonstante; bleibt ihr Wert un 
bestimmt, so heißt das Integral ein unbestimmtes Integral. 
2. Grundformeln der Integralrechnung. 
Durch Umkehrung der in der Differentialrechnung abge 
leiteten Formeln gewinnt man Formeln für die Durchführung von 
Integrationen, z. B.