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4. Integration durch Substitution einer neuen Variabein. 
Es sei das Integral 
zu berechnen. 
Führen wir eine Hilfsvariable u ein, derart, daß x=cp (u). 
demnach auch d x = cp' (u) . d u ist, so erhalten wir 
j* f (x) d x = I* f [cp (u)] . cp' (u) d u. 
Das Integral auf der rechten Seite der Gleichung sieht nun 
allerdings nicht einfacher aus als das ursprüngliche. Es ist aber 
in vielen Fällen möglich, eine solche Substitution zu finden, daß 
man durch dieses Mittel die Integration durchzuführen imstande 
ist. Zur Erläuterung dienen folgende Beispiele: 
176. Beispiel. Das Integral 
ist zu berechnen. 
Substituiert man a x -j- b = u, daher 
a.dx = du, oder dx = 
a 
so übergeht das gegebene Integral in 
T r cos u . du 1 r , 1 . . ™ 
J = \ = : \ COS Udu= Sin U -f- (J, 
Ja a J a 
1 
somit J = — • sin (ax -j- b) -j- C. 
(X 
Die Probe auf die Richtigkeit dieser Lösung besteht darin, 
daß man den gefundenen Wert von ,1 differenziert; das Differential 
desselben muß den in der gegebenen Gleichung unter dem Integral 
zeichen stehenden Ausdruck geben. 
d T— sin (a x -j- b) -)- cl = cos (a x -f- b). d x. 
a 
177. Beis 
. Beispiel. Das Integral J = i T~i: ist zu 
J a x -j— b 
ist zu berechnen. 
a 
J = — • log (a x + b) + C. 
ci