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Es folgt hieraus 
J = j"e — ;i 1 da . ^ e — x2 dx. 
o b 
CO 
Da nun ^e —a2 da ein konstanter Wert ist, so können wir ihn 
b 
als Faktor unter das zweite Integralzeichen setzen: 
J = ^(je -a2 da . e~ x2 dx) = ^ j e —(a2 + x2) da dx. 
bo ob 
Dieses Doppelintegral kann nun mittels einer geeigneten 
Substitution integrierbar gemacht werden. Führt man nämlich für 
a eine neue Variable u ein, mittels der Substitutionsgleichungen, 
a = xu und da — x du, 
wobei die Integrationsgrenzen unverändert bleiben, weil für a = oc 
auch u = co und für a = 0 auch u = 0 ist, so erhält man 
J 2 = Jj e - x2 (i+^) xdxdu. 
0 0 
Jetzt läßt sich die Integration nach x ausführen. Es ist nämlich 
r 2« J. 2x J r e- x2 i 1 + n2 > 1 1 
CO 
1 
}J 2(1 + 11 2 y 
o 
daher ist J — ^ o (j [ ~ u 7> ) • d u = ^ arc u J 
0 0 
Daraus folgt schließlich 
J = Je - * 2 dx = 
7C 
4' 
XIII. Reihen. 
1. Reihe von Taylor. 
Wir stellen uns die Aufgabe, die Funktion 
f (x + h) 
in eine nach steigenden Potenzen von h geordnete Reihe zu entwickeln, 
226) . . f (x + h) = X + X, h + X 2 h2 + X 3 h 3 + . . .