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Die in dieser Reihe vorkommenden Koeffizienten X, X,. X 2 , . . . 
sind von h nicht abhängig, sondern Ausdrücke, in denen nur x in 
irgendeiner Form vorkommt, also Funktionen von x. Speziell ist X 
jener Wert, den die Reihe und daher auch die Funktion f(x-|-h) 
annimmt, wenn h = 0 wird, also 
X = f (x). 
227) 
Die Funktion f(x -)- h) bleibt offenbar ungeändert, wenn man 
x mit h vertauscht. Es ist auch leicht einzusehen, daß der Differential- 
quotient dieser Funktion nach h denselben Wert hat wie ihr Dif 
ferentialquotient nach x: denn nach der Regel für die Differentiation 
einer Funktion von einer Funktion ist 
d f (x -j- h) d f (x + h) d (x -j- h) df(x 4- h) 
d h d(x --j- h) d h d (x -)- h) 
d f (x -j— h) d f (x -f- h) d (x -j- h) d f (x h) 
und 
d x d (x -j- h) d x d (x -(- h) ’ 
d f (x -f- h) d f (x + h) 
es ist also 
dh 
dx 
Wenn wir nun diesen Satz auf die Reihe 
f (x + h) = X -f X, h -f X 2 h 2 -f X 3 h 3 + X 4 h 4 + . . . 
anwenden, so erhalten wir 
228) . . X, + 2X 2 h-f 3X 3 h 2 + 4X 4 h 3 -f...= 
Sollen die auf beiden Seiten dieser Gleichung stehenden Aus- 
drücke für jeden Wert von h einander gleich sein, so müssen je zwei 
Glieder, welche gleich hohe Potenzen von h enthalten, einander 
gleich sein; die Gleichung 228) zerfällt somit nach der uns bereits 
bekannten »Methode der unbestimmten Koeffizienten« in die fol 
genden Gleichungen: 
Da nun X zufolge Gleichung 227) bereits bekannt ist, so 
können wir mittels der Gleichungen 229) auch die Koeffizienten 
X t , X 2 , X 3 , . . . der Reihe nach berechnen und erhalten 
Mandl, Mathematik. J 2