enthält außer x und y noch das Argument t und kann mittels der 
Maclaurinschen Reihe nach Potenzen von t wie folgt entwickelt 
werden: 
25?) . F(t) = F(0) + ■ 1 V'(0) + |fF"(0)+ + R; 
Substituiert man der Kürze wegen 
x -f- h t = u und y -f- k t = v, so ist 
F(t) = f(u,v), 
Pf 
Pu 
P 2 f 
F(t) 
F" (t) 
•h 
9 J. f 
Pv k ’ 
F'" (t) 
Pu 2 
P3f 
• h 2 4- 2 
P 2 f 
P 3 f 
hk 
P 2 f 
P v 2 
•k 2 
P 3 f 
p3f 
—r, • Ir’ -[- 3 - 9 • h 2 k -j- 3y y 9 ' k k 2 4~ ~ ~ ■ k '5 
u 3 Pu 2 Pv P u P v 2 P v 
und wenn hierin t = 0 gesetzt wird: 
F (0) = f (x, y), 
Pf Pf 
F' (0) = yy; h y- k, 
d x 
P 2 f , , , „ P 2 f , , , P 2 f 
1 ' ^ Px 2 + 2 PxPy hk ^ Py 2 k ” 5 
p3f P3 f paf P 3 f 
F' /y (0) — -y—r 6 h ! 3 y—j'T k 2 k —j— 3 y y 2 kk" -J y j k”, 
w p x 3 1 Px 2 Py Px Py 2 Py J 
Substituieren wir nun diese Ausdrücke in Gleichung 257) und 
setzen sodann t = 1. so erhalten wir 
258) . . f (x + h, y + k) = f (x, y) + hy^ + k + 
P 2 f P 2 f 
h 2 y 4 -f- 2 hk 
Px 2 
C^x OJ 
P 2 f 
+i[* 
, k 2 
Px Py p V 2 
]+ 
P 3 f 
Px 3 ■ O'X^O'y ■ C'XC'y' ' <yy- 
+ ~h R- 
Das Restglied entsteht aus dem Restgliede der Reihe 257); dieses ist nach 
Lagrange 
259) R =F (n) G *). 
P 3 f p3f P3fT 
3h 2 kyVy- + 3kk 2 ^-~ + k 3 ^-4 -f 
Wv-iWv P X P y 2 O’y^J