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Koordinaten x-f dx und y-(-dy. Das unendlich kleine Bogen- 
stück PP' = ds wird das Bogendifferential genannt. Dieses kann 
als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks angesehen werden, 
dessen Katheten dx und dy sind. Daher ist das Bogendifferential 
d s = 1 d x 2 -j- d y 2 oder d s = d x 
oder d s = d x j/'l -\- y' 2 . 
1-f 
$)’ 
Teilt man das ganze Bogenstück P t P 2 in lauter unendlich 
kleine Elemente, so kann jedes dieser Elemente nach der Formel 
für das Bogendifferential berechnet werden. Die einzelnen Bogen 
elemente entstehen dadurch, daß x alle Werte von x, bis x., 
durchläuft. Die Summe aller dieser unendlich vielen Bogenelemente 
x 2 
ist daher das bestimmte Integral Ij d x |/1 + y' 2 - 
x i 
Somit ist die Länge des Bogens P 2 P 2 ; 
s=Jdx|T+y 2 . 
x i 
3. Kegelschnittlinien. 
A. Ellipse. 
a) Gleichung der Ellipse, Diskussion der Ellipsengleichung. 
Die Ellipse ist der geometri 
sche Ort aller Punkte P (Fig. 83) 
in der Ebene, deren Abstände von 
zwei festen Punkten F, und F 2 
eine konstante Summe haben. 
Nehmen wir ein rechtwink 
liges Koordinatensystem an, dessen 
Abszissenachse mit der Verbin 
dungslinie F 2 F[ zusammenfällt 
und dessen Ursprung die Strecke 
F 2 F, = 2 e halbiert und bezeichnen 
wir die konstante Summe F, P F 2 P mit 2 a, so besteht die Gleichung 
F, P + F 2 P = 2a. 
Es müssen nun F, P und F 2 P durch die Koordinaten von P 
auss’edrückt werden. 
Fiff. 83.