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Durch Differentiation erhält man 
f' (x) = 6 x 5 — 50 x 4 + 160 x 3 — 246 x- + 182 x — 52. 
Das größte gemeinschaftliche Maß zwischen f (x) und f (x) ist 
X 3 _ 4 x 3 + 5 x - 2. 
Um diesen Ausdruck in Faktoren zu zerlegen, betrachten wir ihn als 
Polynom einer Gleichung und suchen die Wurzelfaktoren. Man erkennt sofort, daß 
x = 1 den Ausdruck auf Null bringt (weil die Summe der Koeffizienten gleich 
Null ist), daher ist derselbe durch (x — 1) teilbar. Die Division ergibt 
( x 3 _ 4 x 3 4- 5 x — 2) : (x — 1) = x 3 — 3 x + 2. 
Der Quotient ist nur mehr vom zweiten Grade, daher können seine Faktoren 
leicht gefunden werden, wenn man ihn als Polynom einer quadratischen Gleichung 
ansieht und die beiden Wurzelfaktoren durch Auflösung der Gleichung bestimmt. 
Wir erhalten schließlich 
X 3 _ 4 x 3 4- 5 x — 2 = ( x - l) 3 . (x - 2) 
und folgern daraus, daß f (x) den Faktor (x — 1) dreimal und (x — 2) zweimal enthält. 
Dividieren wir daher f(x) durch (x — l) 3 (x — 2) 2 , so erhalten wir (x — 3) als 
Quotienten. Die gegebene Gleichung lautet daher auch 
f (x) = (x — l) 3 (x — 2) 3 (x — 3) = 0 ; 
sie enthält die Wurzel 1 dreifach, die Wurzel 2 zweifach und die Wurzel 3. 
* J,neare hin aus einer gegebenen Gleichung eine andere abzuleiten, deren Wurzeln 
Iinils ' um d kleiner sind, kann man 
formation der 
Gleichungen. 413) . x = y 4 d 
in die gegebene Gleichung substituieren und die neue Gleichung f(y4~d) = 0 
nach der neuen Unbekannten ordnen. 
Ein für die numerische Rechnung einfacheres Verfahren erhält man jedoch 
auf folgende Art: 
f ■—- a 0 xn 4" a i x n 1 4- a 2 x 11 2 4 .... 4 an = 0 ; 
Die Wurzeln 
einer 
numerischen 
Gleichung Die gegebene Gleichung sei 
um eine 
gegebene 
Zahl zu ¿j} e Substitution von Gleichung 413) ergibt daher 
vermindern. 
— 1 I _ /_ | :>, n — 2 
f — a o (y + d) n 4- a i (y 4 d) n 1 4" a 2 (y 4“ d) n “ 4 ■ • • • 4~ a n = o 
oder nach y geordnet: 
414) . . . f = a 0 yn 4 A, yn — 1 4 A 2 y n — 2 4 • ■ • • 4 An = 0. 
V ermöge Gleichung 413) ist y — x — d; dies substituieren wir in Glei 
chung 414) und erhalten 
f = a o ( x — d) U 4~ A-i ( x — 4) U 1 4 (x — d) 11 — 2 4 • • • • 4 An = 0 oder 
*15) f = (x — d)[ a o(x — d) n-1 4-A t (x — d) n-2 4A 2 (x — d) n — 3 4 4 
4 An — l] 4 An — o.