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Trans 
formation 
durch Multi 
plikation oder 
Division. 
Ein 
schränkung 
der Wurzeln. 
Regel von 
Newton. 
341. Beispiel. Die Gleichung 
x 4 + 8 
x 4 + 
2 x- — 17 x — 
- 4 
= 0 
reduzierte 
Form gebracht werden. 
ist a 0 = 
1, a[ — 
3, n 
= 4, daher 
d 
= — 2. 
— 2 
1 
+ 8 
+ 2 
— 
17 — 4 
1 
+ 6 
— 10 
4- 
3 —10 
1 
+ 4 
- 18 
+ 
39 
1 
+ 2 
— 22 
1 
0 
y‘- 
22 y- 
—j— 39 y — 10 
= 
0. 
Eine Vergrößerung oder Verkleinerung der Wurzeln kann auch durch Multi 
plikation oder Division erfolgen. 
Substituiert man beispielsweise x = --~ und multipliziert sodann, um die 
Gleichung von Brüchen zu befreien, mit m", so erhält man eine Gleichung, deren 
Wurzeln m-mal so groß sind wie die der gegebenen Gleichung. 
Man wendet diese Transformation an, wenn man eine Gleichung mit größeren 
oder kleineren Koeffizienten haben will, oder wenn man den Koeffizienten A 0 fort 
schaffen will, ohne Brüche in die Gleichung zu bringen. Zu letzterem Zwecke 
substituiert man x = — 
a o 
und multipliziert sodann die ganze Gleichung mit a 0 n ~ V 
Die Ermittlung eines Zahlenintervalles, innerhalb dessen sämtliche reelle 
Wurzeln liegen, nennt man die Einschränkung der Wurzeln, Die positiven 
Wurzeln liegen zwischen Null und einer oberen Grenze, die negativen Wurzeln 
zwischen Null und der unteren Grenze. Die stärkste Einschränkung der Wurzeln 
erreicht man durch zweckmäßige Anwendung der Kegel von Newton. Diese lautet: 
Wenn eine Zahl 1 sowohl das Gleichungspolynom f (x) als auch alle Differential 
quotienten desselben, f'(x), f" (x), . . . , positiv macht, so ist sie eine obere 
Grenze der Wurzeln. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich daraus, daß man 
nach der Taylorschen Reihe f(x) wie folgt ausdrücken kann: 
f (x) = f (1) -h (x — 1) f' (1) -f- A ( x — 1)3 f" (I) -f . . . . 
Da f(x) unter der gemachten Voraussetzung stets positiv bleibt, wenn x 
von 1 bis oo wächst, so kann ln diesem Zahlengebiete keine Wurzel liegen; daher 
ist 1 eine obere Grenze. 
Um diese Regel anzuwenden, geht man vom (n — l)ten Differentialquotienten 
aus und bestimmt jenen Wert von x, der diesen Differentialquotienten positiv 
macht, was sehr leicht ist, weil f'- n —1 -*(x) eine lineare Funktion von x ist. Diesen 
Wert von x substituiert man in den vorhergehenden Differentialquotienten f( n ~~ 2 )(x) 
und wenn man ein negatives Resultat erhält, so fügt man nach und nach so viele 
Einheiten zu x hinzu als nötig sind, damit f( n ~~- 1 ( x ) positiv sei. Der neue Wert 
von x wird in f- n —,! ^(x) eingesetzt usw., bis man bei f (x) angelangt ist und einen 
Wert von x gefunden hat, der auch f (x) positiv macht.