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zu ermitteln. Die Gleichung- läßt sich auch in der Form (x - a) (x 3 + a x -f a 2 ) = 0 
schreiben. Eine reelle Wurzel ist Xj = a; die beiden übrigen Wurzeln sind aus 
der quadratischen Gleichung x 2 -(- a x -j- a 2 = 0 zu ermitteln. Man erhält 
x 2>3 = — -|(l ± V— 3). 
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Daraus folgt auch, daß die fl drei Werte hat; einen reellen (l) und zwei 
komplexe 
Ermittlung Die Zahl der reellen positiven und negativen Wurzeln wird in vielen Fällen 
der genauen aus ¿¡ en bisherigen Regeln abgeleitet werden können. 
Zur Ergänzung möge hier noch die Regel von Sturm mitgeteilt werden, die 
mittels der unter allen Umständen mit Sicherheit die Anzahl positiver und negativer Wurzeln 
Stumischen zu ermitteln gestattet. 
Bezeichnet man das von mehrfachen Wurzeln befreite Gleichungspolynom 
mit f(x) und seinen Differentialquotienten mit f t (x); dividiert man ferner f(x) 
durch f 4 (x) und bezeichnet den mit umgekehrtem Vorzeichen genommenen Rest 
mit f 2 (x); dividiert sodann f (x) durch f 2 (x) und bezeichnet den mit umgekehrtem 
Vorzeichen genommenen Rest mit f 3 (x) usw. genau so wie bei der Ermittlung der 
mehrfachen Wurzeln von f (x), nur daß die einzelnen Reste stets das umgekehrte 
Vorzeichen erhalten: so nennt man 
f ( x ). f i 0)> £ - ( x ), f 3 ( x ). 
die Sturmschen Funktionen und die von ihnen gebildete Reihe dieSturmsche 
Reihe. Hiebei ist es, wie bei der Ermittlung der mehrfachen Wurzeln, gestattet, 
im Laufe der Rechnung einen Divisor, Dividend oder Rest mit einer positiven 
Zahl zu multiplizieren oder durch sie zu dividieren, wenn dadurch Brüche ver 
mieden werden. DieSturmsche Regel lautet nun: Wenn x von a bis b wächst, 
so verliert die Sturmsche Reihe genau so viele Zoichenwechsel als 
zwischen a und b reelle Wurzeln liegen. Wenn a oder b selbst Wurzeln 
sind, so ist es angezeigt, bei der Ermittlung der reellen Wurzeln diese Zahlen 
(a beziehungsweise b) durch andere geeignete Werte zu ersetzen, obgleich auch für 
diesen Fall ganz bestimmte Regeln existieren. 
Um die Zahl der positiven und die der negativen Wurzeln zu bestimmen, 
gelangt man am schnellsten zum Ziel, wenn man in der Sturmschen Reihe für x 
die Werte —oo, 0, -(-co einsetzt und nach der Sturmschen Regel die Zahl der 
reellen Wurzeln ermittelt, die einerseits zwischen — co und 0, anderseits zwischen 
0 und -(-co liegen. 
343. Beispiel. Die Zahl der positiven und negativen Wurzeln der im 
vorigen Beispiele behandelten Gleichung 
fj (x) = 24 x 3 + 36 x 2 — 7, 
f s (x) = 34x + 13, 
^2 ( x ) — 42 x 2 -f-14 x -j- 35, 
f 4 (x) = — 9075.