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Man findet nun folgende Zeichengruppen: 
Für x = — cc: 
für x = 0: 
für x = -j- co: 
_| j 
- 
(3 Zeichenwechsel); 
(2 Zeichenwechsel); 
(1 Zeichenwechsel), 
Daher liegt zwischen — oo und 0, und ebenso zwischen 0 uod -{- oo je „ 
eine Wurzel. 
Die gegebene Gleichung hat somit bloß zwei reelle Wurzeln, eine positive 
und eine negative. 
Ist a 0 = 1, so ist a n das Produkt aller Wurzeln. Alle rationalen Wurzeln Ganzzahlige 
einer solchen Gleichung sind ganze Zahlen, die in an als Faktoren enthalten sind. Wurzeln. 
Ist a 0 =|=l, so brauchen nicht alle rationalen Wurzeln ganze Zahlen zu sein, 
aber die ganzzahligen rationalen Wurzeln sind ebenfalls Faktoren des Absolutgliedes. 
344, Beispiel, Die ganzzahligen Wurzeln der Gleichung 
4 x 4 - 151 x’ — 51 x + H88 =0 
sind zu ermitteln. 
Die Einschränkung der Wurzeln ergibt, daß alle reellen Wurzeln zwischen 
— 5 und -j- 6 liegen. 
Die Faktoren des Absolutgliedes sind 
± 1, ± 2> + 3, + 4, ± 6, + 9, + 11, + 12, ± 18, + 22, + 27, + 33 usw. 
Davon liegen innerhalb der Wurzelgrenzen bloß die Zahlen 
— 4, —3, —2, —1, +1, +2, +3, +4; 
die Zahl -(- 6 ist auch wegzulassen, weil bereits bei der Ermittlung der oberen 
Grenze konstatiert wurde, daß dies keine Wurzel ist. Die Untersuchung der 
übrig gebliebenen Faktoren ergibt, daß -j- 3 und —4 Wurzeln der gegebenen 
Gleichung sind. 
Um daher eine vorliegende numerische Gleichung aufzulösen, wird man Allgemeiner 
zuerst die Wurzeln einschränken, sodann die innerhalb der Grenzen liegenden Vorgang zur 
Faktoren des Absolutgliedes daraufhin untersuchen, ob sie Wurzeln der Gleichung Au ^!^ ns 
sind, dann die Zahl der positiven und negativen reellen Wurzeln ermitteln und numerischen 
schließlich die gebrochenen und irrationalen Wurzeln berechnen. Letzteres geschieht Gleichung, 
zumeist durch eine Annäherungsrechnung, beispielsweise durch das im folgenden 
beschriebene Verfahren von Horner. 
Nach der Hornerschen Methode wird eine bestimmte Wurzel, die sich Methode 
zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen a und a -|- 1 befindet, behufs schritt- von Horner - 
weiser Berechnung der einzelnen Dezimalen ins Auge gefaßt. Diese Wurzel sei 
a -(- y, wobei y < 1 ist. Man transformiert die gegebene Gleichung derart, daß die 
Wurzelnder neuen Gleichung um a kleiner sind. Eine Wurzel der neuen Gleichung 
wird nun der echte Bruch y sein, dessen Wert zwischen zwei Zahlen liegt, die 
nur um O'l voneinander verschieden sind. Diese beiden Grenzen für y sind leicht 
zu finden, denn die Substitutionsresultate für dieselben haben verschiedene Vor 
gesuchten Wurzel. 
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