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c n _ X x-(-c n = 0 oder x == n — 
c n-l 
c n 0224 
setzen. Im vorliegenden Falle ist = -}- ^ 9g = 0"05 . . . der ange 
näherte Wert der Wurzel der letzten Gleichung oder die zweite Dezimale der ge 
suchten Wurzel der ursprünglichen Gleichung. 
Verminderung der Wurzeln um 0'05: 
005 
1 
+ 2-8 
+ 4-28 
— 0-224 
1 
+ 2-85 
+ 4-4225 
— 0-002875 
1 
+ 2-90 
+ 4-5675 
1 
+ 2-95 
1 
+ 295 
+ 4*5675 
— 0-002875 
(Cn-l) 
(cn) 
(Koeffizienten der neuen Gleichung.) 
Die nächste Stelle der gesuchten Wurzel erhält man wieder als den Quotienten 
0-002875 
“fäßTä“ 
0-0006 . .. 
Um diesen Betrag wären nun die Wurzeln der neuen Gleichung zu ver 
mindern. Wir wollen die Rechnung jedoch nur so weit führen, bis wir sechs 
Dezimalstellen der gesuchten Wurzel ermittelt haben. Zu diesem Zwecke brauchen 
wir c n auf sechs Dezimalstellen; c n _ 3 jedoch nur auf zwei Dezimalstellen, weil 
es mit 00006 multipliziert sechs Dezimalstellen geben muß; c n _ 2 braucht nur 
auf Hunderter genau bekannt zu sein usw. 
Wenn wir demnach von den Koeffizienten der Gleichung nur so viel auf 
schreiben als nach dem Gesagten notwendig ist, so fallen die Glieder mit x 3 und 
x- als belanglos ganz weg und es bleibt nur noch 
daraus folgt 
4-57 x — 0-002875 = 0, 
x 
0-002875 
4-57 
= 0-000629; 
die gesuchte Wurzel ist somit 
x = 1"650629. 
Dividiert man das Gleichungspolynom durch den Wurzelfaktor (x — 1-650629), 
so erhält man 
x 2 — 0-349371 x + 2 423318 = 0 
und daraus die zweite und dritte Wurzel der gegebenen kubischen Gleichung. 
Diese beiden Wurzeln sind komplex. 
Die direkte Auflösung der Gleichungen »in algebraischer Form«, d. h. 
mit Hilfe von Wurzelgrößen, ist im allgemeinen nur bis zu Gleichungen des vierten 
Grades möglich.*) Das im Vorhergehenden entwickelte Verfahren unterliegt dieser 
*) Dieser Satz wurde von Ruffini 1798 (nicht ganz einwandfrei) und von 
Abel 1826 (mit aller Strenge) bewiesen. Er gilt für Gleichungen in der allge- 
Direkte 
Auflösung.