26 § 2. Die zum kürzesten Abstande zweier Geraden gehörigen Formeln. 
Sinn bezeichnet, womit zugleich in jeder Ebene des Dreikantes ein 
positiver Drehungssinn festgelegt ist. 
Von je drei, den drei Koordinaten korrespondierenden Formeln 
werde wiederum im folgenden zumeist, der Kürze halber, nur die erste 
als Repräsentant angeführt; 2Jla { stehe für Xa { -f- -f- usf. 
21. Zunächst gelten die Relationen: 
(1) fei = X i “I“ e i a i7 fei: = X k “f" e k a k1 
(2) Zla i = 0, 27Aa*=- 0. 
Setzt man zur Abkürzung: 
(3) x k - x t = 4x if = z/| f , 
so folgt aus (1) durch Subtraktion: 
(4) z/£; = dx t + e k a k — e i a i = dL \X\cc.\ a k . 
Die rechts an erster Stelle augedeutete Multiplikation der Formeln (4) 
mit den A, ¡a, v nebst nachfolgender Addition liefert wegen (2): 
(5) d*-ZX4x t . 
Aus (2) folgt, daß die A, g, v proportional sind den zyklisch zu neh- 
ßi 7' 
menden Determinanten der Matrix , wobei sich der Proportio- 
a k ßk 7 k 
nalitätsfaktor als sinv erweist, so daß: 
(6) Asinv = ß i y k —ß k y i . 
Hier ist das Vorzeichen des Proportionalitätsfaktors der A, ¡a, v bereits 
richtig gewählt; denn multipliziert man die Ausdrücke (6) mit den 
A, g, v und addiert, so ergibt sich: 
(7) sinv = \cc i cc k X\, 
also sinv nach den getroffenen Verabredungen als positiv, wie es sein 
muß. 
Damit nimmt die Bestimmungsformel (5) für den kürzesten Ab 
stand d der beiden Geraden g i} g k die endgültige Gestalt an: 
(A) 
d sin v = \Jx„ a t , « 4 | — \x k — x„ a„ a k \ 
28. Nunmehr sind die Abstände e v e k zu ermitteln. Vermöge der 
an zweiter und dritter Stelle rechts von (4) angedeuteten Operationen 
kommt: 1 ) 
^ {Ua^x.-e, -f e k cosv = 0, 
\Ha k /lx i — e { cos v e k = 0. 
cos V. 
1) Diese beiden Relationen (8) sagen eben aus, daß 8 2 — als Funktion 
von e { und e k betrachtet, ein Extremum wird. Denn man erhält hiefür sofort die