Kanonische Krümmungen der Gratlinie c . Weiterführung von Ä
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Verhältnis der beiden ersten kanonischen Krümmungen von
c g gleich dem entsprechenden Verhältnis der beiden, auf die
Erzeugende g bezüglichen ersten Krümmungen von c. Oder
kürzer: der kanonische Krümmungswinkel von c g stimmt über
ein mit dem auf g bezüglichen Krümmungswinkel von c.“
§ 4. Fortsetzung. Die Besonderheiten für die Abstände e g .
Die Abstände s .
43. Wir kekren zurück zum Abstande e g , für den der „allgemeine“
Fall eines endlichen e g , wo t nicht senkrecht auf h g steht, in der Dar
stellung (la), § 3 (Kr. 36) seine Erledigung gefunden hatte. Die über (I&)
hinausgehenden Besonderheiten — so daß e g mit der ersten, resp.
zweiten, und sogar, für gewisse Kurven c, mit der dritten Potenz
von ds proportional werden kann — verlangen zuvor eine genauere
Bestimmung der Richtungskosinus A g ,JB g ,C g von ö g , die bei der Ab
leitung von (9) §3, (Nr. 36), in erster Annäherung den Richtungskosinus
X g ,g g ,v g der Binormale h g von g gleichgesetzt werden durften.
Beschränkt man sich jetzt zunächst auf die Entwicklung bis zur
ersten Potenz von ds inkl., so liegen gemäß (14'), § 2 (Nr. 29), zur
Bestimmung der A g ,B g ,C g die beiden linearen homogenen Gleichungen vor:
(18) 2JA g cc g = 0, 2jA g (cc g -f- | dsci g +•••) = 0.
Somit ergibt sich, in Übereinstimmung mit (15), §2, unter q wieder
um einen Proportionalitätsfaktor verstanden:
ß ßn
V 9 V 9
7 n 7
(19) qA g
Nun ist, gemäß (II), § 1 (Nr. 11):
+^ds !??„! +
'9*9
w
7a7a
0 _
V 2
i ds\ [
■r + Kv-\ +
M
9 '9 v "9 9
oder auch, wenn man den Nenner r g nach Heraufmultiplikation in den
Faktor q eingehen läßt;
(21') a A t -l t -\da(i + 3. t ^) +
l 1'
1 N
r
cc
r’
(20)
CCg —
■h
r
)=-
—? 4-
r 2 U-
9_
T Q
— 1 —
9 r 2>
"9 9
V g/
9
9 V 9
9
so daß
(19)
, mit
Rücksicht auf (
V,
§1
(Nr. 6), übergeht in:
(21)
II
ÖH
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^9 V 9
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