§ 48. Die trinomiscken Factoren. 
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Die quadratischen Factoren sind in diesem Falle gleich 
a V- 1)] (* -4) 
und 
X — 
Vereinigt man die beiden ersten linearen Factoren zu einem qua 
dratischen Factor, so wird derselbe reell und gleich 
Demnach hat jede Gleichung vom 2 i> + 1 . P en Grade einen reellen 
quadratischen Factor, wenn jede vom 2p.r ten Grade einen solchen 
hat. Es war aber die Gültigkeit des Satzes bewiesen für den Fall 
p = 1, also gilt er auch für p — 2, 3, 4, . .. u. s. f., ganz allge 
mein für jede Gleichung von geradem Grade. 
Wenn der eine nothwendig vorhandene quadratische Factor 
durch Division aus dem Polynom f(x) ausgeschieden ist, so behält 
man immer noch eine Gleichung von geradem Grade mit reellen 
Coefficienten, für welche dasselbe gilt. Es müssen deshalb alle 
Gleichungen von geradem Grade sich in lauter reelle quadratische 
Factoren zerlegen lassen. 
Aufgabe. Die biquadratische Gleichung 
x 4 -f- ax z -j- bx 2 -j- cx + d — 0 
in zwei reelle quadratische Factoren 
x 2 -J- p 4 x -f- q t und x 2 + p 2 x -f- g 2 
zu zerlegen. 
Diese Zerlegung lässt sich nach der in § 47 entwickelten 
Methode von Lagrange bewerkstelligen. Der Ordnungsexponent 
ist n = 4 = 2.2 == Tc. I. Es sei a eine Wurzel der Gleichung 
u‘ 
: 2 - 1 = 0 
und es werde substituirt 
V — x \ + ax 2 + + a x 4 = X l + ccX 2 , 
wobei 
Aj — x 4 —{- x 3 , A 2 x 2 —f - ^ • 
Dann ist 
z = y 1 — u 0 -)- cta 4 == A, 2 -j- Z 2 2 -J- 2X 1 X 2 a 
und 
Matthiessen, Grundzüge d. aut. u. mod. Algebra. 
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