114 Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. X.
a 2 = 8 X = w 0 + w i •
Hieraus folgt, nun
% == 2(^ + tf 3 ) (> 2 + tf 4 ).
Diese Function der Wurzeln lässt noch zwei Variationen
2(34 + x 2 ) (x 3 + xj, 2 (x x + x 4 ) (x 2 + x 3 )
zu, so dass u x eine Wurzel der kubischen Gleichung
u* + Mu 2 + Nu x + P = 0
sein wird, deren Coefficienten M, N, P symmetrische Functionen
von x x , x 2 , x 3 , x 4 , also rationale Functionen von a,b,c,d sind.
Setzen wir, um diese Gleichung exact zu machen,
u x = 2 b — 2w,
so erhalten wir eine Gleichung in w, deren Wurzeln sind
x x x 3 + x 2 x 4 , x x x 2 + x 3 x 4 , x 1 x 4 -j- x 2 x 3 .
Substituiren wir weiter 00-^ = 7], SO ist
. d
u = t] -\
I I JJ
und 7} eine Wurzel der Gleichung der Wurzelproducte (§ 22):
rf — b rf -f- (ac — cT) rj* — (a 2 d — 2 bd-\- c 2 )nf -f- (ac—d) drf — bd 2 T) -f- d 3
= + («c — 4^ ~ (a 2 d-Abd+c^
= u 3 — bu 2 -f- (ac — 4d) u •— (erd — Abd -(- c 2 ) = 0.
Ist u eine Wurzel dieser Gleichung, so ist u x = 2b — 2u.
Setzt man
a = — 1, s 2 = w 0 -
- u x =
9
= a~ —
2«q = « 2 — 4b -\- Au,
so ist
V, -f- =
= — a ,
- X 2 = Ye 2
und
t(°-
Vi),
x 2 =
— y (« + V^) •
Demgemäss können
die W
urzeln
x x und x 3 als die Wurzeln
der quadratischen Gleichung
.r 2 - X x x + L=0 .
betrachtet werden. Dividirt man die gegebene Gleichung durch
diesen quadratischen Factor und setzt das erste Glied des Restes
gleich Null, so findet man