Full text: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen

114 Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. X. 
a 2 = 8 X = w 0 + w i • 
Hieraus folgt, nun 
% == 2(^ + tf 3 ) (> 2 + tf 4 ). 
Diese Function der Wurzeln lässt noch zwei Variationen 
2(34 + x 2 ) (x 3 + xj, 2 (x x + x 4 ) (x 2 + x 3 ) 
zu, so dass u x eine Wurzel der kubischen Gleichung 
u* + Mu 2 + Nu x + P = 0 
sein wird, deren Coefficienten M, N, P symmetrische Functionen 
von x x , x 2 , x 3 , x 4 , also rationale Functionen von a,b,c,d sind. 
Setzen wir, um diese Gleichung exact zu machen, 
u x = 2 b — 2w, 
so erhalten wir eine Gleichung in w, deren Wurzeln sind 
x x x 3 + x 2 x 4 , x x x 2 + x 3 x 4 , x 1 x 4 -j- x 2 x 3 . 
Substituiren wir weiter 00-^ = 7], SO ist 
. d 
u = t] -\ 
I I JJ 
und 7} eine Wurzel der Gleichung der Wurzelproducte (§ 22): 
rf — b rf -f- (ac — cT) rj* — (a 2 d — 2 bd-\- c 2 )nf -f- (ac—d) drf — bd 2 T) -f- d 3 
= + («c — 4^ ~ (a 2 d-Abd+c^ 
= u 3 — bu 2 -f- (ac — 4d) u •— (erd — Abd -(- c 2 ) = 0. 
Ist u eine Wurzel dieser Gleichung, so ist u x = 2b — 2u. 
Setzt man 
a = — 1, s 2 = w 0 - 
- u x = 
9 
= a~ — 
2«q = « 2 — 4b -\- Au, 
so ist 
V, -f- = 
= — a , 
- X 2 = Ye 2 
und 
t(°- 
Vi), 
x 2 = 
— y (« + V^) • 
Demgemäss können 
die W 
urzeln 
x x und x 3 als die Wurzeln 
der quadratischen Gleichung 
.r 2 - X x x + L=0 . 
betrachtet werden. Dividirt man die gegebene Gleichung durch 
diesen quadratischen Factor und setzt das erste Glied des Restes 
gleich Null, so findet man
	        
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