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Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. XI.
Ist die gegebene Gleichung
x n -j- ax n ~ l + bx n ~ 2 -f-
so ist die Transformirte
r-/.. \
t — 0,
u“ — a | n < 1 ) u b
y n-2
n—3 _J_ ,
= 0»
yn __ (nu — ajy n 1 + ^ 2 )
- «("7 1 ) 4 * 2 + b C i 2 )
und die Bedingung, dass das r te Glied oder der Coefficient von
yn—r+i verschwinde,
(w — r _h 1)! \r—1/ V—2/ 1 \r—3/
Die Bedingungsgleichung für das Verschwinden des r ten Gliedes
(des (r — l) ten Zwischengliedes) ist demnach vom r — l ten Grade.
Die Aufhebung des zweiten Gliedes erfordert die Auflösung einer
Gleichung vom ersten Grade, die des dritten Gliedes die Auflösung
einer quadratischen Gleichung, die des vierten Gliedes die Auf
lösung einer kubischen Gleichung u. s. f.
Es können nun weiter mit Benutzung der Substitution
x 2 + ux -{- (v — y) — 0
in der Transformirten zwei Glieder zum Verschwinden gebracht
werden. Ist die gegebene Gleichung vom w ten Grade, so findet man
mittels der gewöhnlichen Eliminationsmethode die Transformirte
y n — )nv — (au — a 2 -f- 2b)]y n ~ 1
+
+
+ yn ~ 2
(”) - (“7 ‘) At? + (“7 2 ) Bv ~ °] ^“ 3
‘ = 0,
worin
A = au — (a 2 — 2 b),
B— bu 2 — (ab — 3c)u -f- (b 2 — 2ac -f- 2d),
C — cu z -(ac — 4:d)u 2 -\-(bc—3ad-\-be)u—(c 2 — 2bd-\~2ae — 2f),
D=du 4: —(ad — 5 e)u 3 (bd—4 ae-\-9f)ii 2 — (cd—3be-\-oaf—l g)u
+ (d 2 — 2ce + 2bf — 2ag -f- 2h), u. s. w.
zu setzen ist. Das Gesetz der Bildung dieser Ausdrücke ist un
schwer zu erkennen; die letzten Glieder sind sämmtlich die Coeffi-
cienten der Gleichung der Wurzelquadrate.