122 Zweiter Abschnitt. Transformation der Gleichungen. XI. 
Die erste dieser beiden Gleichungen ist die erste Derivirte 
von der zweiten und diese hat also zwei gleiche Wurzeln. Die 
Resultante dieser beiden Gleichungen ist demnach die Discrimi 
nante der zweiten und nach § 21, Beisp. 2 gleich 
-2)AB-3nO} 2 {2»n - (» - 1 )A*\ X 
J3(w— 1 )AC—2(n - 2)B 2 j =0. 
Da A eine Function von u vom ersten Grade, B eine solche 
vom zweiten und C eine vom dritten Grade ist, so ist die Resul 
tante in u im Allgemeinen vom sechsten Grade. 
§ 51. Transformation einer Gleichung in eine andere, in welcher 
drei Zwischenglieder verschwinden. 
Die Methode von T s c h i r nh a u s e n kann ebenfalls dazu verwendet 
werden, eine Gleichung so zu transfor miren, dass in der neuen 
Gleichung das zweite, dritte und vierte Glied verschwinden, also 
die drei ersten Zwischenglieder. Man substituirt in diesem Falle 
die Function 
x d -f- ux 2 -j- vx ~f- (w — y) = 0. 
Man erhält eine Finalgleichung in y vom n ten Grade, deren drei 
erste Zwischenglieder gleich Null gesetzt, drei Bestimmungs 
gleichungen für u f v und w ergeben und zwar eine lineare, eine 
quadratische und eine kubische. Die Resultante in u wird demnach 
vom sechsten Grade sein. Lagrange*) hat indess bewiesen, dass 
für n = 4 diese Gleichung vom sechsten Grade sich in drei quadra 
tische zerlegen lässt, deren Coefficienten von der Auflösung einer 
kubischen Gleichung abhängeu. Wenn demnach die Resultante in 
u durch den quadratischen Factor u 2 -{- pu -{- q getlieilt wird, so 
hat man den linearen Rest gleich Null zu setzen, wodurch zwei 
Bestimmungsgleichungen für p und g gebildet werden, welche eine 
kubische Resolvente in p liefern. Hat man p gefunden, findet 
man leicht c[ und u nebst v und w, welches meistens durch lineare 
Gleichungen geschehen kann. 
Was hier von der biquadratischen Gleichung gilt, findet aber 
für Gleichungen beliebigen Grades statt. 
Die allgemeine Gleichung 
*) Man vergl. Blomstrand, De praecipuis metliodis p. 27.