§ 57. Bildung der Invarianten. 
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n 2 (n — l) 2 dx 2 dy 2 
Der ein geklammerte Ausdruck ist die Determinante der zweiten 
o 
Differenzialquotienten 
d 2 U d 2 u 
dx 27 dxdy 
d 2 U d 2 U 
dxdy’ dy 2 
Ist der Ordnungsexponent ungerade, so verschwindet IT für 
C—ü identisch; ist der Ordnungsexponent gerade, so nimmt 77 
die analoge Form von J 2 m, 2 an. Die Zahl r kann von 0 bis zur 
kleineren Zahl von m und n variiren. Ist m = n, so erhält man 
eine Invariante. 
Indem man von den Functionen -U und C ausgeht, kann man 
die Formen über sich seihst und übereinander schieben. Man er 
hält auf diese Weise eine Reihe von Invarianten und Covarianten, 
aus welchen man mittels Vereinigung mit den ursprünglichen Func 
tionen durch Ueberschiebung schliesslich alle Invarianten und Co 
varianten einer Function erhält. 
Für den Zusammenhang des Ueberschiebungsprocesses hat 
Gordan eine Reihe von Sätzen auf gestellt, unter denen wir nur 
den folgenden anführen. 
Theorem. Jede Covariante oder Invariante einer Form Un tei 
Ordnung, welche in Bezug auf die Coefficienten von U vom m teu 
Grade ist, entsteht durch Ueberschiebungen von CImit Covarianten C, 
welche in Bezug auf jene Coefficienten nur vom m— l ten Grade sind. 
Die allgemeine Formel für TL wird besonders einfach, wenn r = m = n 
ist. Man erhält alsdann 
17 = 
»y d n C 
2 / dy n ~ 2 dx‘ 
Ist nun 
G = Ax n -}- Bx n ~ x y -j b Sxif- 1 + Ty n 
so ist 
Folglich wird