dt ’ " ' ds ’ da 
Da in II die Variabein fehlen, so ist es eine Invariante. Wir 
gelangen auf diese Weise zu der Formel, welche im vorigen Para 
graphen zur Bildung der Covarianten angewendet wurde. Wenn 
demnach C und U vom selben Grade sind, so ist eine Invariante 
J — aT — bS -j- cPi — •••-{- tA . 
Wendet man nun die Hesse’sche Form 
d*U d 2 U _ / d*U\* 
dx 2 dy 2 \dxdyj 
auf die quadratische Function 
U = (a, b, c) (x, yy 
an, so kommt man auf die Invariante 
J‘2,2 = ac — b 2 . 
Wendet man sie auf die kubische Function 
{a, b,c,d) (x, yf 
an, so erhält man ihre quadratische Covariante 
C‘s > 2 — (ac — b 2 )af -f- (ad — bc)xy + (bd 
Dieselbe ist von C leb sch mit ^ z/ bezeichnet worden. C leb sch 
hat bewiesen, dass es ausser A und Q keine symmetrischen Co 
varianten gibt und Gordan zuerst den Beweis geführt, dass jede 
Form eine endliche Anzahl von Invarianten und Covarianten besitzt. 
Wenn man die Hesse’sche Form auf die biquadratisclien 
Functionen anwendet, so findet man die Covariante 0 4; 4 oder ~H. 
Geht man aus von der Functionaldeterminante 
dU ' dC _ dU dC 
dx 8 y dy dx ’ 
und wendet sie an auf 
/\ 
U — (a, b, c, d) (x, y) 3