Dritter Abschnitt. 
Directe Auflösung particulärer Gleichungen. 
I. Die reciproken Gleichungen. 
§ 58. Allgemeine Bemerkungen. 
In vielen Fällen kommen Gleichungen vor, welche sich auf 
andere mit einem kleineren Ordnungsexponenten herabbringen lassen, 
wodurch die Auffindung ihrer Wurzeln vereinfacht wird. Da die 
allgemeine Auflösung der algebraischen Gleichungen sich nur auf 
die Gleichungen der ersten vier Grade erstreckt, so kann man auch 
nur diejenigen Gleichungen höherer Grade auflösen, welche sich 
durch irgendwelche Transformationen auf Gleichungen reduciren 
lassen, welche den vierten Grad nicht übersteigen. 
Einer der einfachsten Fälle ist derjenige, in welchem sämmt- 
liclie Exponenten der Unbekannten ein Vielfaches ein und derselben 
ganzen Zahl sind; also 
x mn + ax m ^ n ~ x) -j- bx m{n ~ 2) -j- {- t = 0. 
Man kann setzen x m = y, wodurch die Gleichung von dem mn ieu 
auf den n ten Grad reducirt wird. 
Einige andere bemerkenswerthe Fälle sind folgende: 
1) die reciproken Gleichungen, deren Eigenschaften bereits in 
§ 18 einer Betrachtung unterzogen sind; 
2) die zweigliedrigen oder binomischen Gleichungen; 
3) die irreductibeln Gleichungen; 
4) die Gleichungen mit mehreren gleichen Wurzeln; 
5) die Gleichungen mit rationalen oder commensurabeln Wurzeln; 
6) die Gleichungen, deren Wurzeln gewisse gegebene Beziehungen 
zu einander haben oder deren Coefficienten so beschaffen sind, 
dass sie sich in Polynome niedrigerer Ordnung zerlegen lassen. 
Wir wollen diese Fälle einer speciellen Betrachtung unterziehen.