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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II. 
Setzt man f/a = a und darauf ax = rj, so erhält man 
#”4-1=0, 
welche sofort eine reciproke Gleichung ist. Dieselbe kann unter 
allen Umständen algebraisch allgemein gelöst werden, wenn n aus 
Primfaetoren besteht die nicht grösser als 7 sind. Ist nämlich 
n — p . q . r, so ist 
r ± 1 = ((</")*)’■ + 1 = 0. 
Durch die Substitution (y p ) q — z findet man z aus 
z r + 1 = 0 
und wenn g 1 eine Wurzel dieser Gleichung ist, so ist 
(yp) q — g 1 ==0. 
Diese Gleichung lässt sich in derselben Weise weiter reduciren, 
indem man y p = £ setzt u. s. f., bis man y gefunden hat. 
Hat eine dieser Gleichungen die Form 
3 5 4 1 = 0, oder z 1 4~ 1 = 0, 
so kann man sie mittelst Division durch s 4 1 auf eine reciproke 
Gleichung von gerader Ordnung bringen, deren halber Ordnungs 
exponent höchstens 3 beträgt, welche sich also noch allgemein 
algebraisch lösen lassen. Wir betrachten die beiden Fälle x n — 1 = 0 
und x n 4- 1 = 0 einzeln. 
Theorem. Alle Wurzeln der Gleichung 
x n — 1 = 0 
sind unmöglich (complex), ausgenommen eine, wenn« ungerade, 
und zwei, wenn n gerade ist. 
Wenn wir die Factoren % — 1 oder x 2 — 1, je nachdem n 
ungerade oder gerade ist, ausscheiden, so erhalten wir die redu- 
cirten Gleichungen 
n — 1 gerade, x n ~ 1 -f- x n ~' 2 4" * • • 4" x 4" 1 = 0, 
n — 2 gerade, x n ~ 2 -{- x n ~ 1 4~ • • • 4" 4 1 = 0. 
Die erste kann keine positive Wurzel haben, wie sich aus dem 
Vorzeichen der Glieder von selbst ergibt; aber auch keine negative, 
da die Stammgleichung keine hat, weil dann n gerade ist. 
Die zweite, welche nur gerade Exponenten hat, kann weder 
eine positive noch eine negative Wurzel haben. Deswegen sind