§ 60. Auflösung binomischer Gleichungen. 
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Wurzel ist, auch a m eine solche sein muss. Deshalb sind Wurzeln 
der Gleichung die Werthe 
cd, cd, a 3 , ... a n ~ x 
Keine dieser Grössen ist aber der andern gleich. Denn angenommen, 
es sei a p = a q , wo p und q < n ist, so würde a p ~i — 1 sein, 
also entweder p — q, da a von 1 verschieden ist, oder es müssten, 
weil a eine Wurzel von x p ~ q — 1=0 sein soll und zugleich von 
x n — 1=0, diese Binome eine gemeinschaftliche Wurzel haben, 
was des vorhergehenden Theorems wegen unmöglich ist; es sind 
nämlich p — q und n relativ prim. Deswegen sind alle Wurzeln 
dargestellt durch die Reihe 
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; a, r ? r. 
und wenn die Reihe fortgesetzt wird, wiederholt sie sich nur von 
vorne, indem 
U n ^ a n+1 ^ a n+2 , a n+3 ? . 
— 1 , a , a 2 , a 3 , . . 
Diese Eigenschaft, alle übrigen Wurzeln der Gleichung durch 
die aufeinander folgenden Potenzen darzustellen, kommt sämmtlichen 
Wurzeln u, ß, y, . . . 6 nur dann zu, wenn n prim ist. In andern 
Fällen beschränkt sich diese Eigenschaft auf die Wurzeln a m , wo 
n und m relativ prim sind, oder auf ihre conjugirte Wurzel. Wenn 
also ß irgend eine der n — 1 complexen Wurzeln ist, so ist zwar 
jede Potenz von ß eine Wurzel; es können aber nicht immer alle 
Wurzeln der Gleichung durch die aufeinander folgenden Potenzen 
von ß dargestellt werden. 
Um diese Behauptung an einem Beispiel zu erweisen, sei 
x 6 — 1 = (# 3 — 1) (pc 3 -f- 1) = 0. 
Die Wurzeln sind 
1 
2 
ß, r, 
d 
cc 
£ 
Wählen wir 
l 
¥ 
+ I1/-3 
so sind unter den sechs ersten Potenzen nur d, 1 und ß enthalten. 
Matthiessen, Grundzüge d. ant. u. mod. Algebra. 
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