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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II. 
Endlich hat man zn setzen 
/Y* /V 1 /V.7 - /y> / y’ 
tAs iAy^ p %As ' tX/2 ^ *^3 • 
Man findet 
+ ^2 + ^3 = 7 
/v* 2 M 2 1 _ w % /y> % _ | _ 'T ^ 'T ^ ■ # 
*^2 I ^1 *^3 I lX/ 2 ^3 ^3 J 
x 1 x 2 ic 3 = l. 
Demnach ist 
III. « 3 — % « 2 -f- j/2% + % • x — 1 = 0. 
Da sich £ 3 immer durch z 1 ausdrficken lässt, so ergibt sich 
hieraus, indem man s x allgemein durch z bezeichnet, die allgemeine 
Hülfsgleichung III. in x,y und z. 
§ 62. Die Methode der Auflösung binomischer Gleichungen nach 
Lagrange*). 
Nachdem Gauss im J. 1801 seine Methode, die Auflösung 
der Gleichung x n — 1=0 (ii prim) auf die ebensovieler parti- 
culärer Gleichungen, als die Zahl n — 1 Primfactoren enthält, zu 
reduciren, in seinen Disquisitiones arithmeticae veröffentlicht hatte, 
gab Lagrange auf Grund seiner in § 47 entwickelten Substi 
tutionsmethode eine andere Methode, worin er zeigte, dass man mit 
Hülfe jener direct die vollständige Lösung des Problems erzielen 
könne, ohne einer anderen intermediären Gleichung zu bedürfen, 
als der binomischen ß p —1 = 0, wo p einen der Primfactoren von 
n — 1 bezeichnet. 
Um die Gleichung 
= x n ~ x + « ra ~ 2 -f « w ~ 3 .4 f- X +■ 1 = 0 , 
deren Wurzeln nach Gauss durch die Reihe 
a a , a a , a a ... a a 
ausgedrückt werden, aufzulösen, verfahre man nach der in § 47 
entwickelten Methode. Sind jene Wurzeln der Reihe nach identisch 
mit x 1} « 2 , x 3 ... x n —i und x n die reelle Wurzel 1, so substituiré man 
V =%i + ßx 2 + ß 2 x 3 + ß 3 x 4 H h ß' l ~ 2 Xn-x, 
wo ß eine Wurzel von ß n ~ x — 1 = 0 bedeutet. Demzufolge ist auch 
y = cc -j- ßci a -J- ß 2 a a “ -f- ß 3 a a ° -(-•••-)- ß n ~ 2 a a ” 2 . 
*) Lagrange, La résolution generale des équations ä deux termes. Note 
XIY du Traite de la résolution des équations numériques. Paris 1808.