§ 62. Methode von Lagrange. 
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Entwickelt man die n — l te Potenz von y und beachtet, dass 
ß n ~ x = a n = 1 ist ; so erhält man 
# = y n ~ 1 = u Q -[- u ± ß -f- u 2 ß 2 -f- % ß 3 -}-••• -j- u n —2 ß n ~ 2 , 
wo u Q) u lf u 2 . . . bestimmbare rationale und ganze Functionen von 
a sind ; welche nicht verändert werden, wenn a durch a a , a a durch 
a« 2 u. s. w. ersetzt werden. Denn diese Grössen u werden als 
symmetrische Functionen von x u x 2 , x 3 . . . nicht verändert, wenn 
man die Elemente in ihrer Reihenfolge cyklisch verschiebt, z. B. 
x i durch x 2 , x 2 durch x 3 u. s. f. ersetzt; oder in einem andern Falle 
x y durch x s , x 2 durch x±, u. s. f. 
Nun ist aber klar, dass jede rationale und ganze Function 
von oc ; in welcher a n — 1 ist, auf die Form 
A + Ba + Ga 2 -| (- Na”- 1 
gebracht werden kann, worin die Coefficienten A, B, C . . . bestimmte 
von a unabhängige Grössen sind. Die Factoren a, a 2 , a 3 . . . 
lassen sich ersetzen durch die nur in anderer Folge auftretenden 
Werthe a a °, a® 1 , a“ 2 , . .. a an ~ 2 . Dies gibt also die Form 
A -j- Ba a ° -f- Ca al -f - Ba a2 -j- • • • -f- Na a1l ~ 2 . 
Wenn diese Function nun so beschaffen ist, dass sie unver 
ändert bleibt durch den Wechsel von a, so folgt daraus, dass die 
Permutation 
A + Ba al + Ca a * + Da« 3 4 [- Na a ° , 
indem a a überall an die Stelle von a tritt, mit der vorigen zu 
sammenfällt und dass 
B = C, G=B, I) = E,... N = B 
sein muss. Dadurch reducirt sich die Form auf die folgende: 
A 4" b(u 4~ oi. a 4~ a“ 2 4" aa ‘ A 4~ * * * ”b 2 ) 
und weil der eingeklammerte Ausdruck die Summe s aller com- 
plexen Wurzeln darstellt, also gleich — 1 ist, auf A — B. Dem 
gemäss ist jede der Functionen u 0 , u ly u 2 ,.. . von der Form A — B, 
und ihr Werth wird gefunden durch die Entwicklung der Potenz 
y n ~ l — 2. Wir haben hier den Fall, wo die Werthe der Grössen 
. . unmittelbar bestimmt werden, ohne dass man nöthig 
u 0 , Uy, %, 
hat, eine Gleichung aufzulösen. 
Wenn wir demnach die n — 1 Wurzeln der Gleichung 
ßn-i — 1=0 
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