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Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II. 
gleich r n = 1 werden muss. Da die Gleichung zwei unbestimmte 
Grössen enthält, so setze man r — 1, woraus resultirt 
cos n& -j- sin n&Y— 1 = 1. 
Tn dieser Gleichung ist der reelle Theil und der imaginäre gleich 
Null zu setzen, woraus folgt 
cos nft — 1=0, sin n& = 0. 
Es muss also nfr = + 2Ti7t sein, wenn Ti eine beliebige positive und 
ganze Zahl bezeichnet. Setzen wir die Werthe in x ein, so er 
halten wir die allgemeine Form der Wurzel 
2lcn . . 27c« t/ 7- 
x = cos h sm 1/ — 1 . 
n — n ’ 
Dieser Ausdruck hat weder mehr noch weniger verschiedene 
Werthe als n. Denn gibt man Ti einen der Werthe von 0 bis 
Y (n — 1) oder y n, jenachdem n ungerade oder gerade ist, so 
findet man im ersteren Falle den reellen Werth -{- 1, wenn Ti = 0 
ist, und ausserdem ^ (n — 1) Paare complexer Werthe; mithin im 
Ganzen n Werthe von x. Im zweiten Falle hat x den reellen Werth 
-(- 1 wenn Ti = 0, den reellen Werth — 1 wenn Ti = ~ n ist, 
und ausserdem — 1 Paare complexer Werthe; mithin im Ganzen 
auch n Werthe. 
Sämmtliche n Wurzeln sind von einander verschieden, weil die 
Winkel 
2 7r 4 ti 6 n (n — 1) n Q C |gj. ( n — 2) 7t 
n ; n } n 7 n n 
alle von einander verschieden und kleiner als n sind. 
Die Formel liefert aber auch nicht mehr Werthe als n. Denn 
wenn Ti negativ genommen wird, werden die beiden Werthe in 
2 Jen , . 'Hin ^ r 
cos h sm y - 
n — n r 
nicht verändert, sondern nur vertauscht. Ebenso wenn Je > n 
genommen wird, so ist dies gleichbedeutend damit, dass man ein 
Vielfaches von 2n zu einem der Winkel 
2 n 4 n 6 n 
n 
ii 
11 
i 
11 — 1 *i n 
7t oder — 
addirt, wodurch weder der Werth des Cosinus noch der des Sinus