200 
Dritter Abschnitt. Particulare Gleichungen. II. 
Da a n = 1 ist, so kann die letzte Reihe ersetzt werden durch 
Xn-\-3 oder Xn-\-2 , • • • Xn—2 } X n —1 j X-n , 
2 2 
M-f-l n-j-2 
— cc 2 y cc 2 . a n ~ s y a n ~ 2 , a” -1 . 
n 
Weil ferner a 2 = — 1, wenn n gerade ist, so sind alle 
Wurzeln der gegebenen Gleichung enthalten in der Reihe 
1, a, a 2 , ... a n ~ 2 , a n ~ 1 . 
Wir betrachten jetzt den Fall 
x n + 1 = 0. 
Die Wurzeln dieser Gleichung sind sämmtlich complex oder 
imaginär, ausgenommen wenn n ungerade ist, wie dies bereits 
in § 60 bewiesen wurde. Zur Auflösung derselben Gleichung sub- 
stituiren wir 
x — r (cos & -f- sin at ]/ — I) , 
woraus folgt 
x n _ r n ^ CO g _j_ gj n n Q, y ]_) = 1 . 
Dieser Gleichung geschieht Genüge durch die Annahme r = 1 und 
nft = -f- (21c -f- 1 )n. Dies gibt 
2 Tc -j- 1 | .2 1c -J- 1 _ / ir 
X = COS — 1 — 7t + Sin ]/ — 1 . 
n — n ' 
Dieser Ausdruck liefert nun sämmtliche Werthe von x, aber 
keine mehr. Gibt man nämlich Ti irgend einen der Werthe von 0 
bis y (w — 1) oder — n — 1, je nachdem n ungerade oder gerade 
ist, so finden wir im ersteren Falle ~ (n — 1) Paare complexer 
Werthe entsprechend den Werthen von Ti von 0 bis (n — 3) 
und den reellen Werth — 1 für Ti — ~ (n— 1), also n Werthe im 
Ganzen. Im zweiten Falle erhalten wir Paare complexer Wur- 
u 
zeln, also auch im Ganzen n Werthe. Alle die complexen Werthe 
sind untereinander verschieden, weil die eintretenden Winkel 
71 3 71 b7t (n 2) 7t ^ (n 1)% 
n 7 n } n n n 
untereinander verschieden und kleiner als 7t sind. Auch kann die