§ 2. Begriff der Wurzeln. — § 3. Binomialfactoren. 3 
voraus, welche zunächst im Folgenden entwickelt werden sollen, 
ehe wir zur Darstellung der Methoden der directen und der approxi 
mativen Auflösung der Gleichungen selbst schreiten. 
II. Binomische und trinomische Factoren des Polynoms. 
§ 3. Theilbarkeit des Polynoms durch Binomialfactoren. 
Sind a, /3, y, . . . verschiedene Werthe von der Beschaffenheit, 
dass sie für x in die Gleichung substituirt derselben genügen, so 
ist offenbar: 
x — a = 0, x — /3 = 0, x — y = 0, u. s. w. 
Durch Multiplication dieser Gleichungen wird offenbar ein nach 
Potenzen von x geordnetes Polynom erhalten, welches die Wurzeln 
cc, /3, y, . . . besitzt. Diese Bemerkung führt uns zu dem folgenden 
Theoreme. 
Sind x x , x 2 , x 3 , ... die Wurzeln der algebraischen Gleichung 
X=0, so ist das Polynom X durch jede der Differenzen x — x 1} 
x — x 2 , u. s. w. ohne Rest theilbar. Der Beweis dieses Theorems 
kann auf verschiedene Art geführt werden. 
1. Beweis. Angenommen, man dividire die Function 
X = x n + ax n ~ x + bx n ~ 2 f- t = 0 
durch dC cc^ und die Division ginge nicht auf, so ist der Quotient 
X x eine Function von x vom nächst niedrigeren Grade, also etwa: 
X x — x' l ~ l -j- Ax n ~ 2 -f- JBx n ~ 3 -f- •••-{- S, 
wobei der Rest T kein x mehr enthält, so dass man hat: 
X = (x — x x ) {x n ~ x + Ax n ~ 2 + Bx n ~ 3 H f- S) + T = 0. 
Da nun x = x x oder x — x x = 0 ist, so folgt hieraus sofort T — 0. 
Es kann also bei der Division ein Rest nicht bleiben. 
2. Beweis. Es sei x x eine Wurzel der Gleichung X = 0, so 
ist gemäss der. Definition der Wurzel: 
X a — x x -f- ax x n ~ 1 -f- bx x n ~ 2 -f- • • • -j- sx x -f- t = 0. 
Durch Subtraction dieser Gleichung von der gegebenen erhält man: 
(oc n — x x n ) -j- a(oc n ~ x — x x n ~ x ) -j- • • • + s(x — x x ) = 0. 
Diese Gleichung ist bekanntlich durch CC CC£ theilbar. Nun ist 
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