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§ 75. • Von der Auflösung der Gleichungen, deren Wurzeln eine 
arithmetische Progression bilden. 
Wenn die Gleichung 
x n -f- ax n ~ x -f- bx n ~ 2 -f- • • • -f~ sx ~f“ t — 0 
gegeben und von ihren Wurzeln bekannt ist, dass dieselben eine 
arithmetische Progression bilden, also von der Form 
a, a~f-/3, a -f-2/3, a -j— 3 /3, . . . 
sind, so lassen sich diese auf folgende Art bestimmen. 
Es ist 
~a=^[2a+(n~l)ß]n = n a +^f^ß, 
o 2 - 2J = a 2 + (fl + ßf + (« + 2ß) 2 H 1-[« + (»- l)ßf 
= na 2 -f- 2 [1 + 2 + 3 H I- (» — 1)] aß 
+ [ V + 2 2 + --.+(n-iy)ß 2 
— na? -f- n(ii — 1) «/3 —|— -j r (2n — 1 )(n — 1 )nß 2 . 
Multiplicirt man die zweite Gleichung mit n und subtrahirt 
davon das Quadrat der ersten Gleichung, so erhält man 
2==12 aH„-l)-2t» 
r n^n 2 — 1) 7 
und mit Hülfe der ersten Gleichung 
cc + ^n(n — l)ß 
1. Beispiel. "Gegeben sei die kubische Gleichung 
x 3 + ax 2 -J- bx -f- c = 0 . 
Mit Anwendung der Formeln findet man 
ß=yT(d 2 -M), « = -i a _-|/io 2 _3&) 
•Es ist also 
i = — ja — 36) , 
— J a ]/'J ^^ '