§ 75. Wurzeln in arithmetischer Progression. 
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Bildet man hiervon die Summe der Combinationen zu allen 
Classen, so erhält man die kubische Gleichung 
o. 2a 3 — 9 ab ~ 
x 6 -f- ax 2 -f-bx r= — 0 . 
u ( 
Damit also die Wurzeln eine arithmetische Progression bilden, 
muss die Reducente 
2 a 3 - 9ab -f 27c = 0 
sein. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so verschwinden aus der 
Cardanischen Formel die Kubikwurzeln. Die vorstehende Redu 
cente lässt sich auch wie alle andern Reducenten in symmetrischer 
Function der Wurzeln aus drücken, nämlich 
— (2 a 3 — 9 a 27 c) = {x x — 2x 2 + x 3 ) (x 2 — 2x 3 -f- x x ) (x 3 — 2x x + x 2 ). 
2. Beispiel. Gegeben sei 
x x -j- ax 3 -f- bx 2 -f- cx -j- cl = 0 . 
Mit Anwendung der Formeln findet man 
ß= -86), « = -ia--|]/f(3« 2 -86). 
Es ist also 
% = — 1“—j]/j( 3a2 — 8b X> 
( 3a2 -' 8& )> 
x t = — f « + j Yj (3 “ 2 — 8 h ), 
*4 = -D+!i/f (3« 2 -8&). 
Bildet man nun rückwärts die Gleichung wieder aus den Bi- 
nomialfactoren, so resultirt 
x^ -f- ax 3 -j- bx 2 — ~(a 3 — Aob)x — —^(lla 4 -j-8a 2 & —1445 2 )==0. 
Die Reducente a 3 — 4ab Sc verschwindet stets, wenn die 
Wurzeln eine arithmetische Progression bilden, und die Reducenten 
a 3 — 4ab -j- 8c und 11a 4 -f- 8a 2 b — 144& 2 -j- 1600c7 
verschwinden gleichzeitig, wenn die Wurzeln eine arithmetische 
Progression bilden. 
Theorem. Wenn die allgemeine Gleichung n ten Grades von 
der Cayley’schen Form Wurzeln hat, welche insgesammt eine