§ 76. Wurzeln in geometrischer Progression. 233 
Bildet man von dieser Function sämmtliche Variationen und 
multiplicirt sie mit einander, so erhält man 
{x l -j- x 2 — x 3 — ic 4 ) (x x — x 2 -{- X, 6 — x x ) (x x — x 2 — x 3 -f- x±) X 
(— x x — x 2 + x s + %)(— x x -\-x 2 — x ?j + x x ) (— x x + x 2 + x 3 — xj 
= - (a 3 — 4ab + 8c) 2 . 
Wenn die Quadrate der Wurzeln eine arithmetische Propor 
tion bilden sollen, so muss die Reducente 
(y* 2 I /y> 2 /y> 2 /y» 24 //y> 2 /yi 2 __ i ™ 2 ^ 24 (™ 2 /y» 2 /y* 2 1 /y» 2\ 
V l(/ 1 I ‘ X/ 2 ^3 ^4 y V^l *^2 I *^3 ^4 y V^l *^2 *^3 ^4 y 
= (a 2 — 2&) 3 — 4(a 2 — 2b)(b 2 — 2ac -j- 2d) -f- 8(c 2 — 2bcT) 
• = a 6 — 6a 4 & -f - 8a 3 c -j- 8a 2 & 2 — 8a 2 c/ — 16a&c 8c 2 
verschwinden. 
§76. Von der Auflösung der Gleichungen, deren Wurzeln eine 
geometrische Progression bilden. 
Angenommen es seien 
a, aß, aß 2 , aß s , . . . a/3 n—1 
die m Wurzeln der Gleichung 
ie* -f - + &^ w—2 + • • • -f~ sx -f- t = 0 , 
so lassen sich a und ß, folglich auch sämmtliche Wurzeln der 
Gleichung, durch Auflösung einer reciproken Gleichung finden. 
Zunächst erhält man durch Multiplication aller Wurzeln 
n(n 1) 
a n ß 1 • 2 = 4-t, 
je nachdem n gerade oder ungerade ist. Bildet man die Summe 
der Combinationen zu je zwei Wurzeln, so erhält man daneben 
C‘‘ß{ (1 + fl) + 2(^ + ^) + 3(/3 4 + /5 5 ) + •.. + (fl*-H-/3 2 ”- 4 )) = &. 
Substituirt man 
ß + j = y, 
so erhält man mit Hülfe der in § 59 gegebenen Gleichung 
ß m 4 =tj m —m y m ~ 2 4 
2 . m(m 
1 . 2 
— y m ~ 4 
m{m — 4) {m — 5) 
1.2.3 
ym-6 _j_ , 
indem man den Factor ß n ~ 2 aus der. Klammer entfernt und zwei 
correspondirende Glieder verbindet: